Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác: (dùng các hằng đẳng thức đại số và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành vế kia)
E) 2( $sin^{6}\alpha+cos^6\alpha)$+1=3$(sin^4\alpha+cos^4\alpha)$
NL: Xin đừng làm ngắn gọn. Chân thành cảm ơn
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha} \right) + 1\\
= 2\left( {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha} \right)}^3} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha} \right)}^3}} \right) + 1\\
= 2\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha} \right)\left( {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha} \right)}^2} – {{\sin }^2}\alpha{{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha} \right)}^2}} \right) + 1\\
= 2\left( {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha} \right)}^2} – {{\sin }^2}\alpha{{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha} \right)}^2}} \right) + 1\left( {do:{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1} \right)\\
= 2\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha} \right) + 1 – 2{\sin ^2}\alpha{\cos ^2}\alpha\\
= 2\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha} \right) + {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha} \right)^2} – 2{\sin ^2}\alpha{\cos ^2}\alpha\\
= 2\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha} \right) + {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha{\cos ^2}\alpha – 2{\sin ^2}\alpha{\cos ^2}\alpha\\
= 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha} \right)
\end{array}$