BÀI TẬP: a. Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z nào thỏa mãn : 4x^2 +4x =8y^3 -2z^2+4 b. Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa

Giải thích các bước giải:

b,

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{y + z}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{y + z}}.\frac{{y + z}}{4}}  = 2.\frac{x}{2} = x\\
\frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{z + x}}{4} \ge 2.\sqrt {\frac{{{y^2}}}{{z + x}}.\frac{{z + x}}{4}}  = 2.\frac{y}{2} = y\\
\frac{{{z^2}}}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{z^2}}}{{x + y}}.\frac{{x + y}}{4}}  = 2.\frac{z}{2} = z\\
 \Rightarrow \left( {\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{y + z}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{z + x}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{z^2}}}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{4}} \right) \ge x + y + z\\
 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} + \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right) \ge x + y + z\\
 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right) = 1
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{2}{3}\)