Bài tập về ptđ thẳng: Lập đt d cách A(1;1) một khoảng bằng 2 và cách điểm B(2;3) một khoảng bằng 4

Đáp án:

\(\left[ \begin{array}{l}
y =  – 1\\
y =  – \frac{4}{3}x – 1
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là \(d:\,\,\,y = a\,x + b \Leftrightarrow a\,x – y + b = 0\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{d_{\left( {A,d} \right)}} = 2\\
{d_{\left( {B,d} \right)}} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {a.1 – 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = 2\\
\frac{{\left| {a.2 – 3 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {a + b – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2\\
\frac{{\left| {2a + b – 3} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {a + b – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2\\
\frac{{\left| {2a + b – 3} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2.\frac{{\left| {a + b – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {a + b – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2\\
\left| {2a + b – 3} \right| = 2\left| {a + b – 1} \right|
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {a + b – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2\\
\left[ \begin{array}{l}
2a + b – 3 = 2a + 2b – 2\\
2a + b – 3 =  – 2a – 2b + 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {a + b – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2\\
\left[ \begin{array}{l}
b =  – 1\\
4a + 3b = 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b =  – 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
a =  – \frac{4}{3}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
b = \frac{{5 – 4a}}{3}\\
\frac{{\left| {a + \frac{{5 – 4a}}{3} – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2\,\,\,\,\,\,\left( {vn} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0;\,\,\,b =  – 1\\
a =  – \frac{4}{3};\,\,\,\,b =  – 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(\left[ \begin{array}{l}
y =  – 1\\
y =  – \frac{4}{3}x – 1
\end{array} \right.\)