Bài toán: Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình x ² -4x +1=0. Chứng minh rằng x1^5 +x2^5 la 1 số nguyên. 01/09/2021 Bởi aihong Bài toán: Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình x ² -4x +1=0. Chứng minh rằng x1^5 +x2^5 la 1 số nguyên.
Đáp án: `pt <=> x^2 + (-4)x + 1 = 0` Áp dụng hệ thức ` vi-et` ta có : `{x_1 + x_2 = -b/a = -( -4)/1 = 4` `{x_1x_2 = c/a = 1/1 = 1` Ta có : `x_1^5 + x_2^5` `= (x_1 + x_2)^5 – 5x_1x_2(x_1 + x_2)^3 + 5(x_1x_2)^2(x_1 + x_2)` Do `x_1 + x_2 , x_1x_2 in Z` mà các hạng tử trên chỉ chứa các nhân tử `x_1 + x_2 , x_1x_2` nên dễ thấy `x_1^5 + x_2^5 in Z` Giải thích các bước giải: Bình luận
Xét phương trình cho có dạng $ax^2+bx+c=0$ với $\begin{cases}a=1\\b=-4⇒b’=-2\\c=1\end{cases}$ nên phương trình cho là phương trình bậc hai một ẩn $x$ có $Δ’=b’^2-ac=4-1=3>0$ nên phương trình cho có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-et có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=4\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=1\end{cases}$ Có $x_1^5+x_2^5=(x_1^2+x_2^2).(x_1^3+x_2^3)-(x_1.x_2)^2.(x_1+x_2)$ $=[(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2].[(x_1+x_2)^3-3x_1.x_2.(x_1+x_2)]-(x_1.x_2)^2.(x_1+x_2)$ $=(4^2-2.1).(4^3-3.1.4)-1^2.4=724$ nguyên Bình luận
Đáp án:
`pt <=> x^2 + (-4)x + 1 = 0`
Áp dụng hệ thức ` vi-et` ta có :
`{x_1 + x_2 = -b/a = -( -4)/1 = 4`
`{x_1x_2 = c/a = 1/1 = 1`
Ta có :
`x_1^5 + x_2^5`
`= (x_1 + x_2)^5 – 5x_1x_2(x_1 + x_2)^3 + 5(x_1x_2)^2(x_1 + x_2)`
Do `x_1 + x_2 , x_1x_2 in Z` mà các hạng tử trên chỉ chứa các nhân tử `x_1 + x_2 , x_1x_2`
nên dễ thấy `x_1^5 + x_2^5 in Z`
Giải thích các bước giải:
Xét phương trình cho có dạng $ax^2+bx+c=0$ với $\begin{cases}a=1\\b=-4⇒b’=-2\\c=1\end{cases}$
nên phương trình cho là phương trình bậc hai một ẩn $x$
có $Δ’=b’^2-ac=4-1=3>0$ nên phương trình cho có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-et có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=4\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=1\end{cases}$
Có $x_1^5+x_2^5=(x_1^2+x_2^2).(x_1^3+x_2^3)-(x_1.x_2)^2.(x_1+x_2)$
$=[(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2].[(x_1+x_2)^3-3x_1.x_2.(x_1+x_2)]-(x_1.x_2)^2.(x_1+x_2)$
$=(4^2-2.1).(4^3-3.1.4)-1^2.4=724$ nguyên