Bằng phương pháp quy nạp toán học hãy chứng minh: `1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2(n\in\mathbb{N})`

0 bình luận về “Bằng phương pháp quy nạp toán học hãy chứng minh: `1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2(n\in\mathbb{N})`”

1. Với ` n = 1` ; ta có ` 1^3 = 1^2 = 1` ( đúng )

   Với ` n = 2` ; ta có ` 1^3 +2^3 = 1 + 8 = 9 = (1+2)^2` ( đúng )

   Giả sử điều trên đúng với `n =k` ; ta sẽ chứng minh với `n = k+1` cũng đúng

   Ta có 

   ` 1^3 +2^3 + ….. +k^3 = ( 1 + 2 + ….. + k )^2`

   ` => 1^3 + 2^3 +….. + k^3 +  (k+1)^3 = ( 1 + 2 +….. +k )^2 + (k+1)^3`

   ` = (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3`

   Cần chứng minh:

   ` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ……. + k + k +1)^2`

   Đẳng thức cần chứng minh tương đương

   ` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ……. + k + k +1)^2`
   ` => (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = (((k+1)k)/2)^2 + 2* (k(k+1))/2 * (k+1) + (k+1)^2`
   ` => (k+1)^3 = k(k+1)^2 + (k+1)^2 = (k+1)^3`

   Đẳng thức được chứng minh

   Vậy ` 1^3 + 2^3 +3^3 +…… + n^3 = (1+2+3+……n)^2`

   Bình luận

2. Với $n=1$:

   $1^3=1^2$ (đúng)

   Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$ ($k\in\mathbb{N}$):

   $1^3+2^3+3^3+…+k^3=(1+2+3+…+k)^2$

   Cần chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$:

   $1^3+2^3+3^3+…+(k+1)^3=(1+2+3+…+k+1)^2$

   Thật vậy:

   $VT=1^3+2^3+3^3+…+k^3+(k+1)^3$

   $=(1+2+3+…+k)^2+(k+1)^3$

   $VP=(1+2+3+…+k+(k+1))^2$

   $=(1+2+3+….+k)^2+2(k+1)(1+2+3+…+k)+(k+1)^2$

   $=(1+2+3+…+k)^2+(k+1).[2(1+2+3+…+k)+k+1]$

   $=(1+2+3+…+k)^2+(k+1).\Big[ 2.\dfrac{(k+1).k}{2}+k+1\Big]$

   $=(1+2+3+…+k)^2+(k+1).[k(k+1)+k+1]$

   $=(1+2+3+…+k)^2+(k+1).(k+1.)(k+1)$

   $=(1+2+3+…+k)^2+(k+1)^3$

   $=VT$ (đpcm)

   Bình luận