Bằng phương pháp quy nạp toán học hãy chứng minh: `1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2(n\in\mathbb{N})`

Với ` n = 1` ; ta có ` 1^3 = 1^2 = 1` ( đúng )

Với ` n = 2` ; ta có ` 1^3 +2^3 = 1 + 8 = 9 = (1+2)^2` ( đúng )

Giả sử điều trên đúng với `n =k` ; ta sẽ chứng minh với `n = k+1` cũng đúng

Ta có 

` 1^3 +2^3 + ….. +k^3 = ( 1 + 2 + ….. + k )^2`

` => 1^3 + 2^3 +….. + k^3 +  (k+1)^3 = ( 1 + 2 +….. +k )^2 + (k+1)^3`

` = (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3`

Cần chứng minh:

` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ……. + k + k +1)^2`

Đẳng thức cần chứng minh tương đương

` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ……. + k + k +1)^2`
` => (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = (((k+1)k)/2)^2 + 2* (k(k+1))/2 * (k+1) + (k+1)^2`
` => (k+1)^3 = k(k+1)^2 + (k+1)^2 = (k+1)^3`

Đẳng thức được chứng minh

Vậy ` 1^3 + 2^3 +3^3 +…… + n^3 = (1+2+3+……n)^2`