Bất phương trình $ \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1}{\left| x+1 \right|-2x}\le -2{ x ^ 2 }+x+1 $ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Bất phương trình $ \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1}{\left| x+1 \right|-2x}\le -2{ x ^ 2 }+x+1 $ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Đáp án:
2 nghiệm nguyên
Giải thích các bước giải:
Điều kiện: $x\ne 1;x\ne \dfrac{-1}{3}$
+ Nếu $ x\ge -1 $ thì $ \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1}{\left| x+1 \right|-2x}\le -2{ x ^ 2 }+x+1 $ $ \Leftrightarrow \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1}{1-x}\le -2{ x ^ 2 }+x+1 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1-\left( 1-x \right)\left( -2{ x ^ 2 }+x+1 \right)}{1-x}\le 0 $ $ \Leftrightarrow \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1-\left( -2{ x ^ 2 }+x+1+2{ x ^ 3 }-{ x ^ 2 }-x \right)}{1-x}\le 0 $ $ \Leftrightarrow \dfrac{-2{ x ^ 3 }+5{ x ^ 2 }-x-2}{1-x}\le 0 $ $\Leftrightarrow 2(x-2)(x+1/2)\le 0 $
Lập bảng xét dấu ta có: $ x\in \left[ -1/2;2 \right] $ .
Khi đó có 2 nghiệm nguyên là: $ 0;2 $
+ Nếu $ x < -1 $ thì $ \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1}{\left| x+1 \right|-2x}\le -2{ x ^ 2 }+x+1 $ $ \Leftrightarrow \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1}{-1-3x}\le -2{ x ^ 2 }+x+1 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1-\left( -1-3x \right)\left( -2{ x ^ 2 }+x+1 \right)}{-1-3x}\le 0 $ $ \Leftrightarrow \dfrac{2{ x ^ 2 }-x-1-\left( 2{ x ^ 2 }-x-1+6{ x ^ 3 }-3{ x ^ 2 }-3x \right)}{-1-3x}\le 0 $ $ \Leftrightarrow \dfrac{-6{ x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }+3x}{-1-3x}\le 0 $ $ \Leftrightarrow \dfrac{3x\left( -2{ x ^ 2 }+x+1 \right)}{-1-3x}\le 0 $
Cho $ x=0 $ ; $ -2{ x ^ 2 }+x+1=0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right. $ ; $ -3x-1=0 $ $ \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3} $
Lập bảng xét dấu ta có: $ x\in \left[ -\dfrac{1}{2} ;-\dfrac{1}{3} \right)\cup \left[ 0;1 \right] $ .
Kết hợp với điều kiện ta có $x=0$ là nghiệm nguyên
Kết luận: bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.