BIẾT hệ số x^3 trong khai triển (3x^2+1/x)^n là 81.C5/n tìm giá trị của n

0 bình luận về “BIẾT hệ số x^3 trong khai triển (3x^2+1/x)^n là 81.C5/n tìm giá trị của n”

1. Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có

   $\left( 3x^2 + \dfrac{1}{x} \right)^n = (3x^2 + x^{-1})^n$

   $= \sum_{k=0}^n C_n^k .(3x^2)^k. x^{-1(n-k)}$

   $= \sum_{k=0}^n C_n^k . 3^k . x^{2k-n+k}$

   $ = \sum_{k=0}^n C_n^k . 3^k . x^{3k-n}$

   Khi đó, tại hệ số của $x^3$ thì $k$ là

   $3k-n = 3$

   $<-> k = \dfrac{n+3}{3}$

   Vậy hệ số của $x^3$ là

   $3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 81 . C_n^5$

   $<-> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$

   Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n-k}$ ta có

   $3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$

   $<> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{n-\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$

   $<-> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{2n-3}{3}} = 3^4. C_n^5$

   Vậy ta có $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $\dfrac{n+3}{3} = 5$ hoặc $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $5 = n-\dfrac{n+3}{3}$.

   TH1: $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $\dfrac{n+3}{3} = 5$

   Điều này là vô lý nên trường hợp này ko có $n$ thỏa mãn

   TH2: $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $5 = n-\dfrac{n+3}{3}$

   Giải cả 2 ptrinh ta đều có $n = 9$.

   Do đó $n = 9$.

   Bình luận