Biết rằng hàm số y=ax^2+bx+c đạt GTLN bằng 1/4 tại x=3/2 và tổng lập phương các nghiệm của phương trình y=0 bằng 9 tính P=abc

Đáp án:

$P=6$

Giải thích các bước giải:

Vì hàm bậc 2 có GTLN nên $a<0$

Hàm bậc 2 đạt GTLN tại $x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{3}{2} ⇔\dfrac ba = -3$ (1)

Khi đó $y_{max} =\dfrac{-\Delta}{4a}= \dfrac{4ac-b^2}{4a}$ 

$⇔ \dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{1}{4} ⇔ 4ac – b^2 = a$

$⇔ 4ac – 9a^2 = a$ (2)

Tổng lập phương các nghiệm của phương trình $y = 0$ bằng $9$

$⇔ (x_1)^3 + (x_2)^3 = 9$

$⇔ (x_1 + x_2)(x_1^2 -x_1x_2 + x_2^2)= 9$

$⇔ (x_1 + x_2).\left[{(x_1+x_2)^2 – 3x_1x_2}\right] = 9$

Theo Vi-et ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}a\\x_1.x_2=\dfrac ca\end{cases}$

Phương trình tương đương

$ \dfrac{-b}{a}.\left[{\left({\dfrac{-b}{a}}\right)^2 – 3.\dfrac{c}{a}}\right] = 9$ 

$⇔\dfrac{-b^3}{a^3} + 3.\dfrac{bc}{a^2} = 9$ (sử dụng (1))

$⇔ 27 – 9.\dfrac{c}{a} = 9$

$⇔ \dfrac{c}{a} = 2 ⇔ c = 2a$, thay vào (2) ta được:

$4.a.2a – 9a^2 = a $

$⇔ -a^2 – a = 0$

$⇔ a = -1$ (do $a<0$)

Thay $a = -1$ vào (1) và (2) được $b = (-3).(-1) = 3$

và $c = 2a = 2.(-1) = -2$

$⇒ P = abc = (-1).3.(-2) = 6$