Biết x+y+z>0. Chứng minh x ³ + y ³ + z ³ ≥ 3xyz 25/08/2021 Bởi Liliana Biết x+y+z>0. Chứng minh x ³ + y ³ + z ³ ≥ 3xyz
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có: $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz$$=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz$$=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)$$=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$Vì $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 0$nên $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz \geq 0$ (1)Mặt khác: $x^3+y^3+z^3-3xyz$$=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz$$=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)$$=(x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)$$=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2+z^2-xz-yz-3xy)$$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$ (2)Vì $x+y+z >0$ và $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz \geq 0$nên $(2) \geq 0$hay $x^3+y^3+z^3-3xyz \geq 0$=> $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ (đpcm)Chúc bạn học tốt !!!! Bình luận
Giải thích các bước giải: Có `x+y+z>=0` `=>x+y>=-z` `=>(x+y)^3>=(-z)^3` `=>x^3+3x^2y+3xy^2+y^3>=-z^3` `=>x^3+y^3+z^3>=-3x^2y-3xy^2` `=>x^3+y^3+z^3>=-3xy(x+y)` `=>x^3+y^3+z^3>=-3xy(-z)` `=>x^3+y^3+z^3>=3xyz` $\text{(đpcm)}$ Dấu $=$ xảy ra `<=>x+y+z=0.` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có: $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz$
$=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz$
$=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)$
$=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$
Vì $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 0$
nên $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz \geq 0$ (1)
Mặt khác: $x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz$
$=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2+z^2-xz-yz-3xy)$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$ (2)
Vì $x+y+z >0$ và $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz \geq 0$
nên $(2) \geq 0$
hay $x^3+y^3+z^3-3xyz \geq 0$
=> $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ (đpcm)
Chúc bạn học tốt !!!!
Giải thích các bước giải:
Có `x+y+z>=0`
`=>x+y>=-z`
`=>(x+y)^3>=(-z)^3`
`=>x^3+3x^2y+3xy^2+y^3>=-z^3`
`=>x^3+y^3+z^3>=-3x^2y-3xy^2`
`=>x^3+y^3+z^3>=-3xy(x+y)`
`=>x^3+y^3+z^3>=-3xy(-z)`
`=>x^3+y^3+z^3>=3xyz` $\text{(đpcm)}$
Dấu $=$ xảy ra `<=>x+y+z=0.`