Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức:
c)$\frac{x^4-x^3+4x^2-x+5}{x^2+1}$
d)$\frac{x^5-2x^4-x-3}{x+1}$
Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức:
c)$\frac{x^4-x^3+4x^2-x+5}{x^2+1}$
d)$\frac{x^5-2x^4-x-3}{x+1}$
$\text{c)} \dfrac{x^4-x^3+4x^2-x+5}{x^2+1}$
=$\dfrac{(x^4-1)-(x^3+x)+(4x^2+4)+2}{x^2+1}$
=$\dfrac{(x^2+1)(x^2-1)x(x^2+1)+4(x^2+1)+2}{x^2+1}$
=$\dfrac{(x^2+1)(x^2-1-x+4)+2}{x^2+1}$
=$x^2-x+3+\dfrac{2}{x^2+1}$
$\text{d)}\dfrac{x^5-2x^4-x-3}{x+1}$
=$\dfrac{(x^5+x^4)-(x^4-1)-x-4-2x^4}{x+1}$
=$\dfrac{x^4(x+1)-(x^2+1)(x-1)(x+1)-(x+1)-(2x^4-2)-5}{x+1}$
=$\dfrac{x^4(x+1)-(x^2+1)(x-1)(x+1)-(x+1)-2(x^2+1)(x-1)(x+1)-5}{x+1}$
=$\dfrac{(x+1)[x^4-(x^2+1)(x-1)-1-2(x^2+1)(x-1)]-5}{x+1}$
=$x^4-x^3-x^2+x-1+1-2x^3-2x^2+2x+2-\dfrac{5}{x+1}$
=$x^4-3x^3-3x^2+3x+2-\dfrac{5}{x+1}$
Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)\dfrac{{{x^4} – {x^3} + 4{x^2} – x + 5}}{{{x^2} + 1}}\\
= \dfrac{{{x^4} + {x^2} – {x^3} – x + 3{x^2} + 3 + 2}}{{{x^2} + 1}}\\
= \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) – x\left( {{x^2} + 1} \right) + 3\left( {{x^2} + 1} \right) + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 3} \right) + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\
= {x^2} – x + 3 + \dfrac{2}{{{x^2} + 1}}\\
d)\dfrac{{{x^5} – 2{x^4} – x – 3}}{{x + 1}}\\
= \dfrac{\begin{array}{l}
{x^5} + {x^4} – 3{x^4} – 3{x^3}\\
+ 3{x^3} + 3{x^2} – 3{x^2} – 3x + 2x + 2 – 5
\end{array}}{{x + 1}}\\
= \dfrac{\begin{array}{l}
{x^4}\left( {x + 1} \right) – 3{x^3}\left( {x + 1} \right) + 3{x^2}\left( {x + 1} \right)\\
– 3x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) – 5
\end{array}}{{x + 1}}\\
= \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} – 3{x^3} + 3{x^2} – 3x + 2} \right) – 5}}{{x + 1}}\\
= {x^4} – 3{x^3} + 3{x^2} – 3x + 2 – \dfrac{5}{{x + 1}}
\end{array}$