Biểu thức P = -x^2 – 2x + m – n – 1 đạt GTLN bằng 1. Hãy tìm GTNN của biểu thức m^2 + n^2

Giải thích các bước giải:

Ta có:
$P=-x^2-2x+m-n-1$
$\to P=-(x^2+2x+1)+m-n$
$\to P=-(x+1)^2+m-n$
Mà $(x+1)^2\ge 0\quad\forall x$
$\to -(x+1)^2+m-n\le m-n$
Vì $GTLN\quad P=1$
$\to m-n=1$
$\to m=n+1$
$\to m^2+n^2=(n+1)^2+n^2=2n^2+2n+1=2(n^2+n+\dfrac12)=2((n+\dfrac12)^2+\dfrac14)\ge 2(0+\dfrac14)=\dfrac12$
Dấu = xảy ra khi $n=-\dfrac12, m=\dfrac32$