C=x^2/(x^2+x+1) với x khác -1 Tìm x để C có giá trị nguyên

0 bình luận về “C=x^2/(x^2+x+1) với x khác -1 Tìm x để C có giá trị nguyên”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $C = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}}$

   Mà:

   $\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   {x^2} \ge 0,\forall x \ne  – 1\\
   {x^2} + x + 1 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall x \ne  – 1
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}} \ge 0,\forall x \ne  – 1\\
    \Rightarrow C \ge 0\left( 1 \right)
   \end{array}$

   Lại có:

   $\begin{array}{l}
   C – \dfrac{4}{3} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}} – \dfrac{4}{3}\\
    = \dfrac{{ – {x^2} – 4x – 4}}{{{x^2} + x + 1}}\\
    = \dfrac{{ – {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}}
   \end{array}$

   Mặt khác:

   $\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
    – {\left( {x + 2} \right)^2} \le 0,\forall x \ne  – 1\\
   {x^2} + x + 1 > 0,\forall x \ne  – 1
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow \dfrac{{ – {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} \le 0,\forall x \ne  – 1\\
    \Rightarrow C – \dfrac{4}{3} \le 0\\
    \Rightarrow C \le \dfrac{4}{3}\left( 2 \right)
   \end{array}$

   Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow 0 \le C \le \dfrac{4}{3}$

   Mà $C \in Z \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   C = 0\\
   C = 1
   \end{array} \right.$

   $\begin{array}{l}
    + )TH1:C = 0\\
    \Leftrightarrow {x^2} = 0\\
    \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\\
    + )TH2:C = 1\\
    \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}} = 1\\
    \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = {x^2}\\
    \Leftrightarrow x + 1 = 0\\
    \Leftrightarrow x =  – 1\left( l \right)
   \end{array}$

   Vậy $x=0$ thỏa mãn đề.

   Bình luận

2. `C={x^2}/{x^2+x+1}={x^2+x+1-(x+1)}/{x^2+x+1}`

   `C=1-{x+1}/{x^2+x+1}`

   `C\in Z=>{x+1}/{x^2+x+1} \in Z`

   `x\in Z=>{x(x+1)}/{x^2+x+1} \in Z`

   `=>{x^2+x+1-1}/{x^2+x+1} \in Z`

   `=>1- 1/{x^2+x+1} \in Z`

   `=>1/{x^2+x+1} \inZ`

   `=>x^2+x+1\in Ư(1)={-1;1}`

   `=>x^2+x\in {-2;0}`

   $⇒\left[\begin{array}{l}x^2+x=-2\\x^2+x=0\end{array}\right.$

   $⇔\left[\begin{array}{l}x^2+x+2=0 (vô \ nghiệm)\\x(x+1)=0\end{array}\right.$

   $⇔\left[\begin{array}{l}x=0\\x+1=0\end{array}\right.$

   $⇔\left[\begin{array}{l}x=0\ (nhận) \\x=-1 (loại) \end{array}\right.$

   Vậy $x=0$ thì $C$ có giá trị nguyên.

   Bình luận