C=x^2/(x^2+x+1) với x khác -1 Tìm x để C có giá trị nguyên

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$C = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}}$

Mà:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} \ge 0,\forall x \ne  – 1\\
{x^2} + x + 1 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall x \ne  – 1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}} \ge 0,\forall x \ne  – 1\\
 \Rightarrow C \ge 0\left( 1 \right)
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
C – \dfrac{4}{3} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}} – \dfrac{4}{3}\\
 = \dfrac{{ – {x^2} – 4x – 4}}{{{x^2} + x + 1}}\\
 = \dfrac{{ – {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}}
\end{array}$

Mặt khác:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
 – {\left( {x + 2} \right)^2} \le 0,\forall x \ne  – 1\\
{x^2} + x + 1 > 0,\forall x \ne  – 1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \dfrac{{ – {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} \le 0,\forall x \ne  – 1\\
 \Rightarrow C – \dfrac{4}{3} \le 0\\
 \Rightarrow C \le \dfrac{4}{3}\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow 0 \le C \le \dfrac{4}{3}$

Mà $C \in Z \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
C = 0\\
C = 1
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
 + )TH1:C = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} = 0\\
 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\\
 + )TH2:C = 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}} = 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = {x^2}\\
 \Leftrightarrow x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow x =  – 1\left( l \right)
\end{array}$

Vậy $x=0$ thỏa mãn đề.