C/m biểu thức luôn âm với mọi giá trị của x
1) -x^2 – 1
2) -(x + 1)^2
3) -(x + 1)^2 – 3
4) -x^2 – 2x – 1
5) -x^2 – 2x – 4
6) -x^2 – 4x – 1
7) -x^2 – x – 1
8) -2x^2 + 6x – 8 (HD : rút hệ số bậc 2 ra ngoài trước ngoặc sau đó bổ sung hằng đẳng thức)
9) -2x^2 – 3x – 4
10) -2x^2 + 2x – 4
Lưu ý: Có 1 số câu trong bài này không phải là luôn âm mà là luôn không dương với mọi gt x nha !!
Giải thích các bước giải:
1/ $-x^2-1=-(x^2+1)$
Vì $x^2 \geq 0$ nên $x^2+1 \geq 1$
Hay $-(x^2+1) \leq -1 < 0$
⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$
2/ $-(x+1)^2$
Vì $(x+1)^2 \geq 0$
nên $-(x+1)^2 \leq 0$
⇒ $\text{Biểu thức không dương với mọi giá trị của x}$
3/ $-(x+1)^2-3$
Vì $-(x+1)^2 \leq 0$
nên $-(x+1)^2-3 \leq -3 < 0$
⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$
4/ $-x^2-2x-1=-(x^2+2x+1)=-(x+1)^2$
Vì $(x+1)^2 \geq 0$
nên $-(x+1)^2 \leq 0$
⇒ $\text{Biểu thức không dương với mọi giá trị x}$
5/ $-x^2-2x-4=-x^2-2x-1-3=-(x^2+2x+1)-3=-(x+1)^2-3$
Vì $-(x+1)^2 \leq 0$
nên $-(x+1)^2-3 \leq -3 < 0$
⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$
6/ Bài này đề sai nhé !!
7/ $-x^2-x-1=-x^2-x-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}=-(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{3}{4}$
Vì $-(x+\dfrac{1}{2})^2 \leq 0$
nên $-(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{3}{4} \leq -\dfrac{3}{4} < 0$
⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$
8/ $-2x^2+6x-8$
$=-2(x^2-3x+4)$
$=-2(x^2-2.\dfrac{3}{2}.x+\dfrac{9}{4}+\dfrac{7}{4})$
$=-2(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{7}{2}$
Vì $-2(x-\dfrac{3}{2})^2 \leq 0$
nên $-2(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{7}{2} \leq -\dfrac{7}{2} < 0$
⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$
9/ $-2x^2-3x-4$
$=-2(x^2+\dfrac{3}{2}x+2)$
$=-2(x^2+2.\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{16}+\dfrac{23}{16})$
$=-2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{23}{8}$
Vì $-2(x+\dfrac{3}{4})^2 \leq 0$
nên $-2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{23}{8} \leq -\dfrac{23}{8} < 0$
⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$
10/ $-2x^2+2x-4$
$=-2(x^2-x+2)$
$=-2(x^2-2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}$
$=-2(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{7}{2}$
Vì $-2(x-\dfrac{1}{2})^2 \leq 0$
nên $-2(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{7}{2} \leq -\dfrac{7}{2} < 0$
⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$
Chúc bạn học tốt !!!
Đáp án:
$\begin{array}{l}
1) – {x^2} – 1\\
Do:{x^2} \ge 0\forall x\\
\Rightarrow – {x^2} \le 0\\
\Rightarrow – {x^2} – 1 \le – 1 < 0\\
Vay\, – {x^2} – 1 < 0\forall x\\
2) – {\left( {x + 1} \right)^2}\\
Do:{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\forall x\\
\Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\forall x\\
3) – {\left( {x + 1} \right)^2} – 3\\
Do:{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\\
\Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\\
\Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} – 3 \le – 3 < 0\\
Vay\, – {\left( {x + 1} \right)^2} – 3 < 0\forall x\\
4) – {x^2} – 2x – 1\\
= – \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\
= – {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\forall x\\
5) – {x^2} – 2x – 4\\
= – \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\\
= – \left( {{x^2} + 2x + 1 + 3} \right)\\
= – {\left( {x + 1} \right)^2} – 3 \le – 3 < 0\forall x\\
6) – {x^2} – 4x – 1\\
= – \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4 – 1\\
= – {\left( {x + 2} \right)^2} + 3 \le 3\forall x\\
7) – {x^2} – x – 1\\
= – \left( {{x^2} + x + 1} \right)\\
= – \left( {{x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \right)\\
= – {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{3}{4} \le – \dfrac{3}{4} < 0\forall x\\
8) – 2{x^2} + 6x – 8\\
= – 2\left( {{x^2} – 3x + 4} \right)\\
= – 2.\left( {{x^2} – 2.x.\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}} \right)\\
= – 2{\left( {x – \dfrac{3}{2}} \right)^2} – 2.\dfrac{3}{4}\\
= – 2{\left( {x – \dfrac{3}{2}} \right)^2} – \dfrac{3}{2} \le – \dfrac{3}{2} < 0\forall x\\
9) – 2{x^2} – 3x – 4\\
= – 2\left( {{x^2} + \dfrac{3}{2}x + 2} \right)\\
= – 2.\left( {{x^2} + 2.x.\dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{{16}} + \dfrac{{23}}{{16}}} \right)\\
= – 2{\left( {x + \dfrac{3}{4}} \right)^2} – \dfrac{{23}}{8} < 0\forall x\\
10) – 2{x^2} + 2x – 4\\
= – 2\left( {{x^2} – x + 2} \right)\\
= – 2.\left( {{x^2} – 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}} \right)\\
= – 2{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{7}{2} < 0\forall x
\end{array}$