C/m `n^3-n \vdots 6 ∀n ∈ZZ ` BẰNG 2 CÁCH (hơn càng tốt)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Cách 1: Chứng minh tích $3$ số liên tiếp chia hết cho $6$

Ta có: $n^3-n = n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)$

$+)\; n(n+1)\;\vdots\; 2$ (tích $2$ số tự nhiên liên tiếp)

$+)\; n(n+1)(n-1)\;\vdots\; 3$ (tích $3$ số tự nhiên liên tiếp)

$→ n(n+1)(n-1)\;\vdots\; 6 \ \forall n\in \mathbb{Z}$ (đpcm)

  Cách 2: Quy nạp toán học

Với $n=x$. Giả sử $n^3-n\;\vdots\; 6 ⇔ x^3-x\;\vdots\; 6$

Với $n=x-1$. Khi đó: $n^3-n=(x-1)^3-(x-1)$

$=x^3-3x^2+3x-1-x+1$

$=x^3-3x^2+2x$

$=(x^3-x)-(3x^2-3x)$

$=(x^3-x)-3x(x-1) $

$+)\; x^3-x \;\vdots\; 6$ (giả thuyết)

$+)\; x(x-1) \;\vdots\; 2$ (tích $2$ số liên tiếp)

$→ 3x(x-1) \;\vdots\; 2.3=6$

$→ (x-1)^3-(x-1)\;\vdots\; 6→n^3-n\;\vdots\; 6 \ \forall n\in \mathbb{Z}$ (đpcm)