C/m `n^3-n \vdots 6 ∀n ∈ZZ ` BẰNG 2 CÁCH (hơn càng tốt) 04/07/2021 Bởi Alexandra C/m `n^3-n \vdots 6 ∀n ∈ZZ ` BẰNG 2 CÁCH (hơn càng tốt)
Đáp án + Giải thích các bước giải: Cách 1: Chứng minh tích $3$ số liên tiếp chia hết cho $6$ Ta có: $n^3-n = n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)$ $+)\; n(n+1)\;\vdots\; 2$ (tích $2$ số tự nhiên liên tiếp) $+)\; n(n+1)(n-1)\;\vdots\; 3$ (tích $3$ số tự nhiên liên tiếp) $→ n(n+1)(n-1)\;\vdots\; 6 \ \forall n\in \mathbb{Z}$ (đpcm) Cách 2: Quy nạp toán học Với $n=x$. Giả sử $n^3-n\;\vdots\; 6 ⇔ x^3-x\;\vdots\; 6$ Với $n=x-1$. Khi đó: $n^3-n=(x-1)^3-(x-1)$ $=x^3-3x^2+3x-1-x+1$ $=x^3-3x^2+2x$ $=(x^3-x)-(3x^2-3x)$ $=(x^3-x)-3x(x-1) $ $+)\; x^3-x \;\vdots\; 6$ (giả thuyết) $+)\; x(x-1) \;\vdots\; 2$ (tích $2$ số liên tiếp) $→ 3x(x-1) \;\vdots\; 2.3=6$ $→ (x-1)^3-(x-1)\;\vdots\; 6→n^3-n\;\vdots\; 6 \ \forall n\in \mathbb{Z}$ (đpcm) Bình luận
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Cách 1: Chứng minh tích $3$ số liên tiếp chia hết cho $6$
Ta có: $n^3-n = n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)$
$+)\; n(n+1)\;\vdots\; 2$ (tích $2$ số tự nhiên liên tiếp)
$+)\; n(n+1)(n-1)\;\vdots\; 3$ (tích $3$ số tự nhiên liên tiếp)
$→ n(n+1)(n-1)\;\vdots\; 6 \ \forall n\in \mathbb{Z}$ (đpcm)
Cách 2: Quy nạp toán học
Với $n=x$. Giả sử $n^3-n\;\vdots\; 6 ⇔ x^3-x\;\vdots\; 6$
Với $n=x-1$. Khi đó: $n^3-n=(x-1)^3-(x-1)$
$=x^3-3x^2+3x-1-x+1$
$=x^3-3x^2+2x$
$=(x^3-x)-(3x^2-3x)$
$=(x^3-x)-3x(x-1) $
$+)\; x^3-x \;\vdots\; 6$ (giả thuyết)
$+)\; x(x-1) \;\vdots\; 2$ (tích $2$ số liên tiếp)
$→ 3x(x-1) \;\vdots\; 2.3=6$
$→ (x-1)^3-(x-1)\;\vdots\; 6→n^3-n\;\vdots\; 6 \ \forall n\in \mathbb{Z}$ (đpcm)
Đáp án:
Giải thích các bước giải: