Các bạn giải thích cho mình bất đẳng thức Bunhiacopxki là như thế nào với?!
Tại sao (a^3 +b)(\frac{1}{a} +b) >= (a+b)^2
Các bạn giải thích cho mình bất đẳng thức Bunhiacopxki là như thế nào với?! Tại sao (a^3 +b)(\frac{1}{a} +b) >= (a+b)^2
By Skylar
Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng ` (a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax + by)^2`
` (a^3 +b)( 1/a + b) = ( a^4/a + b)( 1/a + b) `
`= [(a^2/(\sqrt(a)))^2+(\sqrt{b})^2].[ (1/(\sqrt(a)))^2+(\sqrt{b})^2]`
` \ge (a^2/(\sqrt(a)). (1)/(\sqrt(a))+ \sqrt{b} . \sqrt{b})^2 = ( a +b)^2\ (đpcm) `
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho $2$ bộ số: $\left(\sqrt{a^3}, \sqrt{b}\right)$ và $\left(\sqrt{\dfrac1a}, \sqrt{b}\right)$ ta có:
$\left(a^3+b\right)\left(\dfrac1a+b\right)$
$=\left(\left(\sqrt{a^3}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right)\left(\left(\sqrt{\dfrac1a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right)$
$\ge \left(\sqrt{a^3}\cdot\sqrt{\dfrac1a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}\right)^2$
$\ge \left(a+b\right)^2$