Các số thực a, b, c thỏa mãn $(a + c) (a + b + c)<0$. Chứng minh rằng: $b^2 + c^2 - 4a^2 > 2(2ab+ 2ac+ bc)$

0 bình luận về “Các số thực a, b, c thỏa mãn $(a + c) (a + b + c)<0$. Chứng minh rằng: $b^2 + c^2 - 4a^2 > 2(2ab+ 2ac+ bc)$”

1. Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi thành:

                        (b – c)² > 4a(a+b+c)

   _ Nếu a = 0 thì giả thuyết trở thành c(b+c) < 0 ⇒ b≠ 0

   Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (b-c)² > 0 (đúng).

   _ Nếu a ≠ 0, xét tam thức f(x)=ax²+(b-c)x + a+b+c.

   Ta có f(0)= a+b+c, f(-1)=2a+2c.

   Theo giả thuyết suy ra f(0).f(-1) < 0

   Do đó tam thức f(x) có 2 nghiệm phân biệt.

   Nên

   Δ=(b-c)²- 4a(a+b+c)>0 ⇒ (b-c)² > 4a(a+b+c).

   (Bất đẳng thức được chứng minh).

    

   Bình luận