căn bậc hai(x-3) + căn bậc hai(5 +x) = x^2 -8*x+18

0 bình luận về “căn bậc hai(x-3) + căn bậc hai(5 +x) = x^2 -8*x+18”

1. Đáp án:

   \[x = 4\]

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   {\left( {x – y} \right)^2} \ge 0,\;\;\;\forall x,y\\
    \Leftrightarrow {x^2} – 2xy + {y^2} \ge 0,\;\;\;\forall x,y\\
    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\;\;\;\forall x,y\\
    \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {x^2} + 2xy + {y^2},\;\;\;\forall x,y\\
    \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2},\;\;\;\forall x,y
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\)

   ĐKXĐ:    \(3 \le x \le 5\)

   \(\sqrt {x – 3}  + \sqrt {5 – x}  = {x^2} – 8x + 18\)

   Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \left( {\sqrt {x – 2}  + } \right)\\
   {\left( {\sqrt {x – 3}  + \sqrt {5 – x} } \right)^2} \le 2.\left( {{{\sqrt {x – 3} }^2} + {{\sqrt {5 – x} }^2}} \right) = 2.\left( {x – 3 + 5 – x} \right) = 2.2 = 4\\
    \Rightarrow \sqrt {x – 3}  + \sqrt {5 – x}  \le 2\\
   {x^2} – 8x + 18 = \left( {{x^2} – 8x + 16} \right) + 2 = {\left( {x – 4} \right)^2} + 2 \ge 2,\,\,\,\forall x\\
    \Rightarrow \sqrt {x – 3}  + \sqrt {5 – x}  \le 2 \le {x^2} – 8x + 18\\
    \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 3}  + \sqrt {5 – x}  = 2\\
   {x^2} – 8x + 18 = 2
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 3}  = \sqrt {5 – x} \\
   {\left( {x – 4} \right)^2} = 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4
   \end{array}\)

   Vậy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

   Bình luận