Cần gấp Cho `a,b,c` là 3 cạnh của 1 tam giác chứng minh `2 (ab + bc + ca) > a^2 + b^2 + c^2` 30/08/2021 Bởi Josie Cần gấp Cho `a,b,c` là 3 cạnh của 1 tam giác chứng minh `2 (ab + bc + ca) > a^2 + b^2 + c^2`
Tam giác luôn có tổng hai cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại. `=> a + b > c; a+c > b; b+c > a` `=> c(a + b) >c^2; b(a+c) > b^2; a(b+c) > a^2` `=> c(a + b) + b(a+c) + a(b+c) > a^2 + b^2 + c^2` `=> ca + cb + ab + bc + +ab+ac > a^2 + b^2 + c^2` `=> 2 (ab+bc+ac) > a^2 + b^2 + c^2 (đpcm)` (Chúc bạn học tốt) Bình luận
Do $a,b,c$ là $3$ cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta được: $\quad \begin{cases}a +b > c\\b+c > a\\c + a > b\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}c(a +b) > c^2\\a(b+c)> a^2\\b(c + a) > b^2\end{cases}$ $\Leftrightarrow c(a+b) + a(b+c) + b(c+a)> a^2 + b^2 + c^2$ $\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)> a^2 + b^2 + c^2$ Bình luận
Tam giác luôn có tổng hai cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại.
`=> a + b > c; a+c > b; b+c > a`
`=> c(a + b) >c^2; b(a+c) > b^2; a(b+c) > a^2`
`=> c(a + b) + b(a+c) + a(b+c) > a^2 + b^2 + c^2`
`=> ca + cb + ab + bc + +ab+ac > a^2 + b^2 + c^2`
`=> 2 (ab+bc+ac) > a^2 + b^2 + c^2 (đpcm)`
(Chúc bạn học tốt)
Do $a,b,c$ là $3$ cạnh của một tam giác
nên theo bất đẳng thức tam giác, ta được:
$\quad \begin{cases}a +b > c\\b+c > a\\c + a > b\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}c(a +b) > c^2\\a(b+c)> a^2\\b(c + a) > b^2\end{cases}$
$\Leftrightarrow c(a+b) + a(b+c) + b(c+a)> a^2 + b^2 + c^2$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)> a^2 + b^2 + c^2$