Câu 1:
a) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
Câu 2:
Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Câu 3:
Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.
Câu 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số a (a > 0) và 1 ta có:
$a + 1 \geq 2\sqrt{a.1} = 2\sqrt a$
Tương tự ta có: $b + 1 \geq 2\sqrt b$
$c + 1 \geq 2\sqrt c$
Do đó: $(a+ 1)(b+1)(c+1) \geq 2\sqrt a . 2\sqrt b . 2\sqrt c = 8.\sqrt{abc}$
Mà $abc = 1$ ⇒ $(a+ 1)(b+1)(c+1) \geq 8$
Câu 2.
Giả sử tổng tổng của số hữu tỉ m với số vô tỉ n là số hữu tỉ p
Ta có: $n = p – m$
Mà hiệu của hai số hữu tỉ p và m là một số hữu tỉ
nên n cũng là số hữu tỉ
Điều này trái với giả thiết
Vậy p là số vô tỉ
Câu 3
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số $x, y, z \geq 0$ ta có
$xyz \leq \dfrac{(x + y+ z)^3}{27}$
⇒ $xyz \leq \dfrac{1}{27}(1)$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số $x +y; y + z; z + x \geq 0$ ta có:
$(x+y)(y+z)(z+ x) \leq \dfrac{(x + y + y + z + z + x)^3}{27}$
⇔$(x+y)(y+z)(z+x) \leq \dfrac{[2(x + y +z)]^3}{27} = \dfrac{2^3}{27} = \dfrac{8}{27}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $xyz(x + y)(y + z)(z + x) \leq \dfrac{1}{27} . \dfrac{8}{27} = \dfrac{8}{729}$
Hay $A \leq \dfrac{8}{729}$
Dấu “=” xảy ra khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}$