Câu 1: a) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 Câu 2: Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số v

Câu 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số a (a > 0) và 1 ta có:

 $a + 1 \geq 2\sqrt{a.1} = 2\sqrt a$

Tương tự ta có: $b + 1 \geq 2\sqrt b$

                          $c + 1 \geq 2\sqrt c$

Do đó: $(a+ 1)(b+1)(c+1) \geq 2\sqrt a . 2\sqrt b . 2\sqrt c = 8.\sqrt{abc}$

Mà $abc = 1$ ⇒ $(a+ 1)(b+1)(c+1) \geq 8$

Câu 2. 

Giả sử tổng tổng của số hữu tỉ m với số vô tỉ n là số hữu tỉ p

Ta có: $n = p – m$

Mà hiệu của hai số hữu tỉ p và m là một số hữu tỉ

nên n cũng là số hữu tỉ

Điều này trái với giả thiết 

Vậy p là số vô tỉ

Câu 3

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số $x, y, z \geq 0$ ta có

$xyz \leq \dfrac{(x + y+ z)^3}{27}$

⇒ $xyz \leq \dfrac{1}{27}(1)$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số $x +y; y + z; z + x \geq 0$ ta có:

$(x+y)(y+z)(z+ x) \leq \dfrac{(x + y + y + z + z + x)^3}{27}$

⇔$(x+y)(y+z)(z+x) \leq \dfrac{[2(x + y +z)]^3}{27} = \dfrac{2^3}{27} = \dfrac{8}{27}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $xyz(x + y)(y + z)(z + x)  \leq \dfrac{1}{27} . \dfrac{8}{27} = \dfrac{8}{729}$

Hay $A \leq \dfrac{8}{729}$

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}$