Câu 1 :
a) Cho a, b, c, d ∈ Z; b, d > 0. Chứng minh rằng : $\frac{a}{b}$ > $\frac{c}{d}$ ⇔ ad > bc.
b) Cho $\frac{a}{b}$ > $\frac{c}{d}$ với a, b, c, d thuộc Z; b, d > 0. Chứng minh rằng : $\frac{a}{b}$ > $\frac{a + c}{b + d}$ > $\frac{c}{d}$
Câu 1 :
a) Cho a, b, c, d ∈ Z; b, d > 0. Chứng minh rằng : $\frac{a}{b}$ > $\frac{c}{d}$ ⇔ ad > bc.
b) Cho $\frac{a}{b}$ > $\frac{c}{d}$ với a, b, c, d thuộc Z; b, d > 0. Chứng minh rằng : $\frac{a}{b}$ > $\frac{a + c}{b + d}$ > $\frac{c}{d}$
`a/b=(ad)/(bd)`
`c/d=(bc)/(db)`
`⇒a/b>c/d`
`⇔(ad)/(bd)>(bc)/(db)`
`⇔(ad)>(bc)`
Ta có :
`a(b + d) = ab + ad`
`b(a + c) = ab + bc`
`⇒a > b ⇔ a(b + d) > b(a + c)`
`⇒[a(d+b)]/[b(d+b)]>[b(a+c)]/[b(d+b)]`
`⇔a/b>(a+c)/(d+b) (1)`
tương tự :
`⇒(a+c)/(d+b)>c/d (2)`
từ `(1);(2)`
`⇒a/b>(a+c)/(d+b)>c/d`
`a)`
Ta có :
`a/b = {ad}/{bd}`
`c/d = {bc}/{bd}`
Nếu `a/b > c/d`
`=> {ad}/{bd} > {bc}/{bd} => ad > bc`
`b)`
Ta có :
`a(b+d) = ab+ ad`
`b(a+c) = ab +bc`
Nếu `a > b ⇒ a(b+d) > b(a+c)`
`⇒ {a(b+d)}/{b(b+d)} > {b(a+c)}/{b(b+d)}`
`⇒ a/b > {a+c}/{b+d}` `(1)`
Ta có :
`d(a+c) = ad + cd`
`c(b+d) = bc + dc`
Nếu ` d > c ⇒ d(a+c) > c(b+d)`
`⇒ {d(a+c)}/{d(b+d)} > {c(b+d)}/{d(b+d)}`
`⇒ {a+c}/{b+d} > c/d` `(2)`
Từ `(1) ; (2) ⇒ a/b > {a+c}/{b+d} > c/d`