Câu 1
a) cho hình nón có bán kính đáy r=2cm , chiều cao bằng đường kính đáy . tính diện tích xung quanh của hình nón
b) người ta sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất . muốn sản xuất một lon sữa bò hình trụ có thể tích bằng 300 cm^3 và tốn ít nguyên liệu nhất thì bán kính đáy và chiều cao của lon sữa bằng bao nhiêu cm?
Đáp án:
a) Chiều cao hình nón là:
$h = 2.r = 4\left( {cm} \right)$
Đường sinh hình nón là:
$l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)$
Diện tích xung quanh của hình nón là:
${S_{xq}} = \pi .r.l = 3,14.2.2\sqrt 5 = 28\left( {c{m^2}} \right)$
b) Thể tích hình trụ là:
$\begin{array}{l}
V = \pi .{r^2}.h = 300\left( {c{m^3}} \right)\\
\Leftrightarrow h = \dfrac{{300}}{{\pi .{r^2}}}\\
\Leftrightarrow {S_{tp}} = 2\pi .r.h + 2\pi .{r^2}\\
= 3\pi .r.\dfrac{{300}}{{\pi .{r^2}}} + 2\pi {r^2}\\
= \dfrac{{900}}{r} + 2\pi .{r^2}\\
= \dfrac{{450}}{r} + \dfrac{{450}}{r} + 2\pi {r^2}\\
Theo\,Cô – si:\\
{S_{tp}} \ge 3.\sqrt[3]{{\dfrac{{450}}{r}.\dfrac{{450}}{r}.2\pi .{r^2}}} = 325\left( {c{m^2}} \right)\\
\Leftrightarrow GTNN:{S_{tp}} = 325\left( {c{m^2}} \right)\\
Dấu = \,khi:\dfrac{{450}}{r} = 2\pi {r^2}\\
\Leftrightarrow r = 4,15\left( {cm} \right)\\
\Leftrightarrow h = \dfrac{{300}}{{\pi {r^2}}} = 5,54\left( {cm} \right)\\
Vậy\,r = 4,15cm;h = 5,54cm
\end{array}$