Câu 1: Cho 3 số a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1 .Chứng minh (1+$\frac{1}{a}$)(1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) $\geq$ 64

0 bình luận về “Câu 1: Cho 3 số a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1 .Chứng minh (1+$\frac{1}{a}$)(1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$) $\geq$ 64”

1. Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

   $1 +\dfrac{1}{3a} +\dfrac{1}{3a} +\dfrac{1}{3a}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{1}{27a^3}}$

   $1 +\dfrac{1}{3b} +\dfrac{1}{3b} +\dfrac{1}{3b}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{1}{27b^3}}$

   $1 +\dfrac{1}{3c} +\dfrac{1}{3c} +\dfrac{1}{3c}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{1}{27c^3}}$

   Nhân vế theo vế ta được:

   $\left(1+\dfrac1a\right)\left(1+\dfrac1b\right)\left(1+\dfrac1c\right)\geq 64\sqrt[4]{\dfrac{1}{(27abc)^3}}$

   Ta lại có:

   $abc \leq \left(\dfrac{a + b + c}{3}\right)^3 =\dfrac{1}{27}$

   $\to 27abc \leq 1$

   $\to (27abc)^3 \leq 1$

   $\to \dfrac{1}{(27abc)^3}\geq 1$

   $\to \sqrt[4]{\dfrac{1}{(27abc)^3}}\geq 1$

   $\to 64\sqrt[4]{\dfrac{1}{(27abc)^3}} \geq 64$

   $\to \left(1+\dfrac1a\right)\left(1+\dfrac1b\right)\left(1+\dfrac1c\right) \geq 64$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c =\dfrac13$

   Bình luận