Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
a) Biết AB = 4cm, BC = 3cm. Tính BD, AO.
b) Kẻ AH vuông góc BD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AH, DH, BC. Chứng minh MN = BI.
c) Chứng minh BM song song với IN.
d) Chứng minh góc ANI là góc vuông.
Câu 2. Cho ABC (AB < AC) có đường cao AH.Gọi M, N, K lấn lượt là trung điểm của AB,AC,BC.
a) Chứng minh : tứ giác BCMN là hình thang.
b) Chứng minh : tứ giác AMKN là hình bình hành.
c) Gọi D là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh : tứ giác ADBH là hình chữ nhật.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMKN là hình vuông.
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi O là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA. Chứng minh tam giác AED vuông và tam giác BEC vuông.
c) Gọi M, N lần lượt là hình chiều của E lên BD và CD, EM cắt AD tại K. Chứng minh DE = DK.
d) Chứng minh H, M, N thẳng hàng.
Đáp án:
Câu 1:
a.ta có :
BD2=AD2+AB2=BC2+AB2=32+42=25→BD=5BD2=AD2+AB2=BC2+AB2=32+42=25→BD=5
BD∩AC=O→AO=12AC=12BD=52BD∩AC=O→AO=12AC=12BD=52
b.Vì M là trung điểm AH, N là trung điểm DH
→MN→MN là đường trung bình ΔAHD→MN=12AD=12BC=BIΔAHD→MN=12AD=12BC=BI
c.Lại có : MN//AD→MN//BC(AD//BC),MN=BI→◊BMNIMN//AD→MN//BC(AD//BC),MN=BI→◊BMNI là hình bình hành
→BM//IN
Câu 2:
a) Xét ΔABC có M, N là trung điểm cua AB, AC → MN // BC
→ BCMN là hình thang
b) Xét ΔABC có M, K là trung điểm của AB, BC → MK // AC; MK = 1/2 AC
N là trung điểm của AC → MK // AN; MK = AN
→ AMKN là hình bình hành
c) Xét tứ giác ADBH có: M là trung điểm của AB, DH → ADBH là hình bình hành
AH ⊥ BC → ∠AHB = 90o
→ADBH là hình chữ nhật
Câu 3:
a, Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AD, BC cắt nhau tại O là trung điểm mỗi đường
⇒ ABCD là hình bình hành
Mà ˆAA^ = 90o90o ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật (đpcm)
b, ΔAED có H là trung điểm của AE, O là trung điểm AD (gt)
⇒ HO là đường trung bình của ΔAED
⇒ HO = 1212ED hay ED = 2HO (đpcm)
c, HO là đường trung bình của ΔAED ⇒ HO ║ ED hay BC ║ ED
⇒ BEDC là hình thang
Đoạn AE có BC ⊥ AE tại trung điểm H
⇒ BC là trung trực của AE
⇒ CE = CA mà CA = DB ⇒ CE = DB
Hình thang BEDC có 2 đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân (đpcm)
d, Gọi I = ED ∩ MN
ΔEAD có H là trung điểm của EA, I là trung điểm của ED
⇒ HI là đường trung bình ⇒ HI ║ AD
mà MN ║ AD (do có 2 góc đồng vị bằng nhau) hay MI ║ AD
⇒ H, M, I thẳng hàng
⇒ H, M, N thẳng hàng (đpcm)
Chúc bạn hc tốt