Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ. Câu 2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + b

Câu 1: Chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử $\sqrt7$ là số hữu tỉ

$\Rightarrow \sqrt7$ viết được dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{m}{n} \quad (n\ne 0)$

$\Rightarrow 7 = \dfrac{m^2}{n^2}$

$\Rightarrow 7n^2 = m^2$

$\Rightarrow m^2 \quad \vdots \quad 7$

$\Rightarrow m\quad \vdots \quad 7$

$\Rightarrow m = 7k \quad (k \in \Bbb Z)$

$\Rightarrow 7n^2 = (7k)^2$

$\Rightarrow n^2 = 7k^2$

$\Rightarrow n^2 \quad \vdots \quad 7$

$\Rightarrow n \quad \vdots \quad 7$

$\Rightarrow n = 7l \quad (l \in \Bbb Z)$

$\Rightarrow \dfrac{m}{n} = \dfrac{7k}{7l}$

$\Rightarrow \dfrac{m}{n}$ không phải phân số tối giản

$\Rightarrow$ Điều giả sử sai

$\Rightarrow \sqrt7$ không phải số hữu tỉ

$\Rightarrow \sqrt7$ là số vô tỉ

Câu 2:

a) $(ac + bd)^2 + (ad- bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2+ d^2)$

$\Leftrightarrow a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 – 2acbd + b^2c^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

$\Leftrightarrow 0 = 0$ (hiển nhiên)

Vậy $(ac + bd)^2 + (ad- bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2+ d^2)$

b) $(ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

$\Leftrightarrow a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 \leq a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

$\Leftrightarrow a^2d^2 – 2acbd + b^2c^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow (ad – bc)^2 \geq 0$ (luôn đúng)

Vậy $(ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

Câu 3:

Ta có: $x + y = 2$

$\Rightarrow x = 2 – y$

Ta được:

$S = x^2 + y^2$

$\to S = (2 – y)^2 + y^2$

$\to S = 4 – 4y + y^2 + y^2$

$\to S = 2(y^2 – 2y + 1) + 2$

$\to S = 2(y -1)^2 + 2$

Do $(y – 1)^2 \geq 0,\,\forall y$

nên $2(y – 1)^2 + 2 \geq 2$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow y – 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy $\min S = 2 \Leftrightarrow (x;y) =(1;1)$

Các câu bên dưới tương tự

 

Trả lời