Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.
Câu 2.
a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.
Câu 4.
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
giúp mik nhé mai nộp r
Câu 1: Chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử $\sqrt7$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow \sqrt7$ viết được dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{m}{n} \quad (n\ne 0)$
$\Rightarrow 7 = \dfrac{m^2}{n^2}$
$\Rightarrow 7n^2 = m^2$
$\Rightarrow m^2 \quad \vdots \quad 7$
$\Rightarrow m\quad \vdots \quad 7$
$\Rightarrow m = 7k \quad (k \in \Bbb Z)$
$\Rightarrow 7n^2 = (7k)^2$
$\Rightarrow n^2 = 7k^2$
$\Rightarrow n^2 \quad \vdots \quad 7$
$\Rightarrow n \quad \vdots \quad 7$
$\Rightarrow n = 7l \quad (l \in \Bbb Z)$
$\Rightarrow \dfrac{m}{n} = \dfrac{7k}{7l}$
$\Rightarrow \dfrac{m}{n}$ không phải phân số tối giản
$\Rightarrow$ Điều giả sử sai
$\Rightarrow \sqrt7$ không phải số hữu tỉ
$\Rightarrow \sqrt7$ là số vô tỉ
Câu 2:
a) $(ac + bd)^2 + (ad- bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2+ d^2)$
$\Leftrightarrow a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 – 2acbd + b^2c^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$
$\Leftrightarrow 0 = 0$ (hiển nhiên)
Vậy $(ac + bd)^2 + (ad- bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2+ d^2)$
b) $(ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$
$\Leftrightarrow a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 \leq a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$
$\Leftrightarrow a^2d^2 – 2acbd + b^2c^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow (ad – bc)^2 \geq 0$ (luôn đúng)
Vậy $(ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$
Câu 3:
Ta có: $x + y = 2$
$\Rightarrow x = 2 – y$
Ta được:
$S = x^2 + y^2$
$\to S = (2 – y)^2 + y^2$
$\to S = 4 – 4y + y^2 + y^2$
$\to S = 2(y^2 – 2y + 1) + 2$
$\to S = 2(y -1)^2 + 2$
Do $(y – 1)^2 \geq 0,\,\forall y$
nên $2(y – 1)^2 + 2 \geq 2$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow y – 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy $\min S = 2 \Leftrightarrow (x;y) =(1;1)$
Các câu bên dưới tương tự