Câu 3 (4 điểm):
Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 3cm; AC = 4cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
a. Tính độ dài cạnh BC.
b. Tam giác BCD là tam giác gì? Vì sao?
c. Từ A kẻ AH BC (H BC), AK DC (H DC). Chứng minh rằng: AC là tia phân giác của .
d. Chứng minh rằng: HK // BD.
a) Áp dụng định lí Py-ta-go trong ΔABC có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
=> 3^2 + 4^2 = BC^2
=> 9 + 16 = BC^2
=> 25 = BC^2
=> BC^2 = 5^2 hoặc BC^2= (-5)^2
=> BC = 5 hoặc BC= -5
Vì BC là cạnh của 1 Δ nên BC =5
Vậy BC =5 cm
b) Xét ΔBCD có: AC là đường cao của ΔBCD ( vì AC ⊥ BD) mà AC là trung tuyến của BD (vì BA = AD)
=> BC = DC
=> ΔBCD là tam giác cân tại C
Vậy ΔBCD cân tại C
c) Đề bài: Từ A kẻ AH ⊥ BC (H BC), AK ⊥DC (H DC). Chứng minh rằng: AC là tia phân giác của ∠HAK
Xét Δ BAC và ΔDAC có:
BC = DC (phần b)
BA =BD ( giả thiết)
AC là cạnh chung
=> Δ BAC = ΔDAC (c.c.c)
=> ∠HCA = ∠KCA ( hai góc tương ứng)
Xét ΔHCA và ΔKCA có:
∠HCA = ∠KCA (chứng minh trên)
AC là cạnh chung
∠AHC = ∠AKC = 90 độ ( vì AH ⊥ BC; AK ⊥DC )
=> ΔHCA = ΔKCA (cạnh huyền – góc nhọn)
=> ∠HAC = ∠KAC ( hai góc tương ứng)
=> AC là tia phân giác của ∠HAK
Vậy AC là tia phân giác của ∠HAK
d) Vì ΔHCA = ΔKCA
=> HC = KC ( hai cạnh tương ứng)
=> ΔHCK cân tại C
=> ∠CHK = (180 độ – ∠C ):2 (2)
Vì ΔBCD cân tại C
=> ∠B = (180 độ – ∠C):2 (1)
Từ (1) và (2) => ∠CHK = ∠ B ( hai góc đồng vị)
=> HK // BD
Vậy HK//BD