Câu 5 (1,0 điểm). Thầy Quyết viết các số nguyên 1,2,3,… 2021 2022 lên bảng. Thầy Quyết thực hiện việc thay số như sau: Mỗi lần thay số, thầy chọn ra hai số bất kì trên bảng, xóa hai số này đi và viết lên bảng số trung bình cộng của hai số vừa xóa. Sau 2021 lần thay số như vậy, trên bảng còn lại duy nhất một số.
a) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2021.
b) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2006
Làm nhanh vs ạ !!!
a) Ta sẽ chỉ ra một cách xóa để số còn lại trên bảng là $2021$
Lần $1$: Xóa $1,3$ và thay bởi số $2$
Lần $2$: Xóa $2,2$ và thay bởi số $2$
Lần $3:$ Xóa 2,4 và thay bởi số $3$
…..
Lần $k$: Xóa $k-1$; $k+1$ và thay bởi số $k$.
…..
Lần $2020$: Xóa $2019$, $2021$ và thay bởi số $2020$
Lần $2021$: Xóa $2021$, $2022$ và thay bởi số $2021$.
Lúc này trên bảng ta chỉ còn lại 1 số $2021$
b) Ta cũng chỉ ra được một cách xóa để số còn lại trên bảng là $2006.$
Chỉ cần chia dãy các số $1,2,3,4,…, 2020, 2021,2022$ thành hai phần (hai dãy con) như
sau:
Dãy 1: $1,2,3,4,…., 2005, 2006$
Dãy 2: $2007, 2008, …., 2021, 2022.$
Bằng thuật toán như bài a với dãy 1 thì sau $2004$ bước ta còn lại 2 số $2004, 2006$
Bằng thuật toán như bài a với dãy 2 nhưng thực hiện ngược lại từ cuối dãy về đầu dãy
thì sau $15$ bước ta còn lại 1 số $2008$.
Vậy sau $2019$ bước sẽ còn lại 3 số: $2004, 2006, 2008$.
Và sau $2$ bước nữa ta thu được số $2006$ trên bảng.