Toán Câu 9: Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 13/07/2021 By Hadley Câu 9: Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng n(n+1)(n+2) chia hết cho 6
Ta thấy `n . (n+1) . (n+2)` là tích của ba số tự nhiên liên tiếp (do `n \in NN`) Mà trong ba số tự nhiên liên tiếp thì tồn tại ít nhất một số chẵn nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `2` `=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 2 (1)` Lại có trong ba số tự nhiên liên tiếp thì luôn tồn tại một số chia hết cho ba nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `3` `=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 3 (2)` Từ `(1)` và `(2)` suy ra `n . (n+1) . (n+2) \vdots 2 . 3 [ do (2,3) = 1 ]` `=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 6` Vậy `n.(n+1).(n+2) \vdots 6 (n \in NN)` Trả lời
Ta có: `6 = 2.3` `=> n(n+1)(n+2) vdots 2;3` Do `n ∈ N => n+1` và `n+2 ∈ N` mà `n; n+1; n+2` là các số tự nhiên liên tiếp `=> n(n+1)(n+2) vdots 2 (1)` Để `n(n+1)(n+2) vdots 3 => n` có dạng `3k; 3k+1; 3k+2` Xét `n = 3k` `=> n(n+1)(n+2) = 3k(3k+1)(3k+2) vdots 3` Xét `n = 3k+1 ` `=> n(n+1)(n+2) = (3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2) = (3k+1)(3k+1+1)(3k+3) vdots 3` Xét `n = 3k+2` `=> n(n+1)(n+2) = (3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2) = (3k+2)(3k+3)(3k+2) vdots 3` `=> n(n+1)(n+2) vdots 3 (2)` Từ `(1;2) => n(n+1)(n+2) vdots 2;3` `=> n(n+1)(n+2) vdots 6` (Chúc bạn học tốt) Trả lời
Ta thấy `n . (n+1) . (n+2)` là tích của ba số tự nhiên liên tiếp (do `n \in NN`)
Mà trong ba số tự nhiên liên tiếp thì tồn tại ít nhất một số chẵn nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `2`
`=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 2 (1)`
Lại có trong ba số tự nhiên liên tiếp thì luôn tồn tại một số chia hết cho ba nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `3`
`=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 3 (2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra `n . (n+1) . (n+2) \vdots 2 . 3 [ do (2,3) = 1 ]`
`=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 6`
Vậy `n.(n+1).(n+2) \vdots 6 (n \in NN)`
Ta có: `6 = 2.3`
`=> n(n+1)(n+2) vdots 2;3`
Do `n ∈ N => n+1` và `n+2 ∈ N`
mà `n; n+1; n+2` là các số tự nhiên liên tiếp
`=> n(n+1)(n+2) vdots 2 (1)`
Để `n(n+1)(n+2) vdots 3 => n` có dạng `3k; 3k+1; 3k+2`
Xét `n = 3k`
`=> n(n+1)(n+2) = 3k(3k+1)(3k+2) vdots 3`
Xét `n = 3k+1 `
`=> n(n+1)(n+2) = (3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2) = (3k+1)(3k+1+1)(3k+3) vdots 3`
Xét `n = 3k+2`
`=> n(n+1)(n+2) = (3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2) = (3k+2)(3k+3)(3k+2) vdots 3`
`=> n(n+1)(n+2) vdots 3 (2)`
Từ `(1;2) => n(n+1)(n+2) vdots 2;3`
`=> n(n+1)(n+2) vdots 6`
(Chúc bạn học tốt)