Câu 9: Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng n(n+1)(n+2) chia hết cho 6

0 bình luận về “Câu 9: Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng n(n+1)(n+2) chia hết cho 6”

1. Ta thấy `n . (n+1) . (n+2)` là tích của ba số tự nhiên liên tiếp (do `n \in NN`)

   Mà trong ba số tự nhiên liên tiếp thì tồn tại ít nhất một số chẵn nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `2`

   `=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 2 (1)`

   Lại có trong ba số tự nhiên liên tiếp thì luôn tồn tại một số chia hết cho ba nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `3`

   `=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 3 (2)`

   Từ `(1)` và `(2)` suy ra `n . (n+1) . (n+2) \vdots 2 . 3 [ do  (2,3)  = 1 ]`

   `=> n . (n+1) . (n+2) \vdots 6`

   Vậy `n.(n+1).(n+2) \vdots 6 (n \in NN)`

    

   Bình luận

2. Ta có: `6 = 2.3`

   `=> n(n+1)(n+2) vdots 2;3`

   Do `n ∈ N => n+1` và `n+2 ∈ N`

   mà `n; n+1; n+2` là các số tự nhiên liên tiếp

   `=> n(n+1)(n+2) vdots 2 (1)`

   Để `n(n+1)(n+2) vdots 3 => n` có dạng `3k; 3k+1; 3k+2`

   Xét `n = 3k`

   `=> n(n+1)(n+2) = 3k(3k+1)(3k+2) vdots 3`

   Xét `n = 3k+1 `

   `=> n(n+1)(n+2) = (3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2) = (3k+1)(3k+1+1)(3k+3) vdots 3`

   Xét `n = 3k+2`

   `=> n(n+1)(n+2) = (3k+2)(3k+2+1)(3k+2+2) = (3k+2)(3k+3)(3k+2) vdots 3`

   `=> n(n+1)(n+2) vdots 3 (2)`

   Từ `(1;2) => n(n+1)(n+2) vdots 2;3`

   `=> n(n+1)(n+2) vdots 6`

   (Chúc bạn học tốt)

   Bình luận