Câu hỏi:
a,Cho khối chóp S.ABCD đáy ABC là tam giác vuông tại A . Cạnh AB=a√2 ,AC=a. Biết SA vuông góc với (ABC) và SA=2a√3.
Tính thể tích khối chóp S.ABC
b, tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Câu hỏi:
a,Cho khối chóp S.ABCD đáy ABC là tam giác vuông tại A . Cạnh AB=a√2 ,AC=a. Biết SA vuông góc với (ABC) và SA=2a√3.
Tính thể tích khối chóp S.ABC
b, tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Đáp án:
a) $V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt6}{3}$
b) $V_{\text{khối cầu}} = \dfrac{9\pi a^3}{2}$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$SA\perp (ABC)$
$\to V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}\cdot SA$
$\to V_{S.ABC} = \dfrac16\cdot AB\cdot AC\cdot SA$
$\to V_{S.ABC} = \dfrac16\cdot a\sqrt2\cdot a \cdot 2a\sqrt3$
$\to V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt6}{3}$
b) Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $ΔABC$ vuông tại $A$ ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\to BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt3$
Gọi $O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\to OB = OC = OA = \dfrac12BC =\dfrac{a\sqrt3}{2}$
Từ $O$ kẻ đường thẳng $d\perp (ABC)$
$\to d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Trong $mp(SAO)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$
$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Ta có:
$IO = \dfrac12SA = a\sqrt3$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $ΔIOA$ vuông tại $O$ ta được:
$IA^2 = IO^2 + OA^2$
$\to R = IA = \sqrt{IO^2 + OA^2} = \sqrt{3a^2 + \dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{3a}{2}$
Ta được:
$V_{\text{khối cầu}} = \dfrac43\cdot\pi R^3 = \dfrac43\cdot \pi \left(\dfrac{3a}{2}\right)^3$
$\to V_{\text{khối cầu}} = \dfrac{9\pi a^3}{2}$