Cau hoi: Xét đúng (sai) mệnh đề và phủ định mệnh đề sau : \(\forall x \in \mathbb{R}\) \({x^4} – {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\)
A. Mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} – {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\) đúng
Mệnh đề phủ định là \(\exists x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} – {x^2} + 1 \ne \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\).
B. Mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} – {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\) đúng
Mệnh đề phủ định là \(x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} – {x^2} + 1 \ne \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\).
C. Mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} – {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\) sai
Mệnh đề phủ định là \(\exists x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} – {x^2} + 1 \ne \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\).
D. Mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} – {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\) sai
Mệnh đề phủ định là \(x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} – {x^2} + 1 \ne \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)\)
Đáp án:
$A$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\quad x^4 – x^2 + 1$
$= x^4 + 2x^2 + 1 – 3x^2$
$= (x^2 +1)^2 – \left(\sqrt 3x\right)^2$
$= \left(x^2 +\sqrt 3x +1\right)\left(x^2 – \sqrt 3x +1\right)$
Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng
Mệnh đề phủ định:
$\exists x\in \Bbb R, x^4 – x^2 + 1 \ne \left(x^2 +\sqrt 3x +1\right)\left(x^2 – \sqrt 3x +1\right)$