Câu hỏi: Tìm x, y để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất: a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) b) B = 2x² + y² – 2xy – 2x + 3

Đáp án:

$\begin{array}{l}
A = x\left( {x – 3} \right).\left( {x – 4} \right).\left( {x – 7} \right)\\
 = x\left( {x – 7} \right).\left( {x – 3} \right).\left( {x – 4} \right)\\
 = \left( {{x^2} – 7x} \right).\left( {{x^2} – 7x + 12} \right)\\
Dat\,{x^2} – 7x = t\\
 \Rightarrow A = t\left( {t + 12} \right)\\
 = {t^2} + 12t\\
 = {t^2} + 2.6t + 36 – 36\\
 = {\left( {t + 6} \right)^2} – 36 \ge  – 36\forall t\\
Dấu\, = \,xay\,ra \Leftrightarrow t =  – 6 \Rightarrow {x^2} – 7x =  – 6\\
 \Rightarrow {x^2} – 7x + 6 = 0\\
 \Rightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 6} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 6
\end{array} \right.\\
Vậy\,x = 1\,hoặc\,x = 6\\
B = 2{x^2} + {y^2} – 2xy – 2x + 3\\
 = {x^2} – 2xy + {y^2} + {x^2} – 2x + 1 + 2\\
 = {\left( {x – y} \right)^2} + {\left( {x – 1} \right)^2} + 2 \ge 2\\
Dấu\, = \,xảy\,ra \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
x = 1
\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 1
\end{array}$