Chia mỗi cạnh của một tứ giác thành ba phần bằng nhau rồi nối các điểm tương ứng trên các cạnh đối diện ta được bốn đoạn thẳng (hai đoạn thẳng nối các điểm chia tướng ứng trên một cặp cạnh đối thì không cắt nhau) Chứng minh rằng diện tích tứ giác ở giữa bằng 1/9 diện tích tứ giác ban đầu
Đáp án:
(*)$S_{EDB}=\frac{2}{3}S_{ADB}$(Vì chung chiều cao từ D xuống AB,EB=$\frac{2}{3}$AB)
$S_{BDI}=\frac{2}{3}S_{BDC}$(Vì chung chiều cao từ B xuống DC,DI=$\frac{2}{3}$DC)
\Rightarrow $S_{EDB}+S_{BDI}=\frac{2}{3}( S_{ADB}+S_{BDC} )$
\Rightarrow $S_{EBID}=\frac{2}{3}S_{ABCD}$
$S_{EKI}=\frac{1}{2}S_{DEI}$ (Vì chung chiều cao từ E xuống DI,KI=[TEX]\frac{2}{3}[/TEX]DI)
$S_{EFI}=\frac{1}{2}S_{EBI}$ (Vì chung chiều cao từ I xuống EB,EF=[TEX]\frac{2}{3}[/TEX]EB)
\Rightarrow $S_{EKI}+S_{EFI}=\frac{1}{2}(S_{DEI}+S_{EBI})$
\Rightarrow $S_{EFIK}$=$\frac{1}{2}S_{EBID}$=$\frac{1}{2}$ .[TEX]\frac{2}{3}[/TEX]$S_{ABCD}$=[TEX]\frac{1}{3}[/TEX]$S_{ABCD}$
(*)bạn tự c/m EP=PS=SK, FQ=QR=RI bằng cách sử dụng định lí Ta-lét và Ta-lét đảo
Sau đó c/m tg tự như trên sẽ có được $S_{PQRS}=\frac{1}{3}S_{EFIK}$
\Rightarrow $S_{SRQP}$=$\frac{1}{9}S_{ABCD}$
Giải thích các bước giải: