Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của A = $\frac{x}{1 - x}$ + $\frac{4}{x}$

0 bình luận về “Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của A = $\frac{x}{1 - x}$ + $\frac{4}{x}$”

1. `A=x/(1-x)+4/x`

   `⇔A=x/(1-x)+(4/x-4)+4`

   `⇔A=x/(1-x)+(4(1-x))/x+4`

   `⇔A≥4+4`

   `⇔A≥8 `

   Dấu “=” xảy ra `⇔x/(1-x)=(4(1-x))/x`

                           `⇒x^2=4(1-x)^2`

                           `⇒`\(\left[ \begin{array}{l}x=2(1-x)\\x=2(x-1)\end{array} \right.\) 

                          `⇒`\(\left[ \begin{array}{l}x=2-2x\\x=2x-2\end{array} \right.\) 

                          ` ⇒`\(\left[ \begin{array}{l}x=2/3(TM)\\x=2 (loại)\end{array} \right.\) 

   Vậy `minA=8 ⇔x=2/3`

   Bình luận

2. `A=x/(1-x)+4/x`  `(0<x<1)`

   `A=x/(1-x)+(4/x-4)+4`

   `A=x/(1-x)+(4-4x)/x+4`

   `A=x/(1-x)+(4(1-x))/x+4`

   Áp dụng BĐT Cosi:

   `x/(1-x)+(4(1-x))/x>=2\sqrt{x/(1-x).(4(1-x))/x}`

   `=>x/(1-x)+(4(1-x))/x>=2\sqrt4=4`

   `=>x/(1-x)+(4(1-x))/x+4>=4+4=8`

   Hay: `A>=8`

   Dấu “=” xảy ra khi:

   `x/(1-x)=(4(1-x))/x`

   `=>x^2=4(1-x)^2`

   `<=>`$\left[ \begin{array}{l}x=2(1-x)\\x=2(x-1)\end{array} \right.$

   `<=>`$\left[ \begin{array}{l}x=2-2x\\x=2x-2\end{array} \right.$

   `<=>`$\left[ \begin{array}{l}3x=2\\-x=-2\end{array} \right.$

   `<=>`$\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{2}{3}(TM)\\x=2(KTM)\end{array} \right.$

   Vậy: GTNN của `A` là: `8` khi `x=2/3`

   Bình luận