Cho $ 0\leq a, b, c\leq2$ và thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr $a^3+b^3+c^3\leq 9$

0 bình luận về “Cho $ 0\leq a, b, c\leq2$ và thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr $a^3+b^3+c^3\leq 9$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng $HĐT:$

   $ a³ + b³ + c³ = (a + b + c)³  – 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc $

   Ta có $: 0 ≤ a, b, c ≤ 2 ⇒ a – 2 ≤ 0; b – 2 ≤ 0; c – 2 ≤ 0$

   $ ⇒ (a – 2)(b – 2)(c – 2) ≤ 0 (1) ⇔ (ab – 2a – 2b + 4)(c – 2) ≤ 0$

   $ ⇔ abc – 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) – 8 ≤ 0$

   $ ⇔ 4 – 2(ab + bc + ca) + abc ≤ 0$ ( thay $ a + b + c = 3$) 

   $ ⇔ 18  – 9(ab + bc + ca) + \frac{9}{2}abc ≤ 0$

   $ ⇔ 27  – 9(ab + bc + ca) + 3abc ≤ 9 – \frac{3}{2}abc ≤ 9 (2)$

   $ ⇔ (a + b + c)³  – 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc ≤ 9 $

   $ ⇔ a³ + b³ + c³ ≤ 9$

   Dấu $’=”$ xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu $”=”$ ở $(1); (2)$

   $ a – 2 = 0$ hoặc $b – 2 = 0$ hoặc $c – 2 = 0$ và $ abc = 0$

   Vì $ a + b + c = 0$ nên:

   – Nếu $ a – 2 = 0 ⇔ a = 2 ⇒ b = 0; c = 1$ hoặc $b = 1; c = 0$

   – Nếu $ b – 2 = 0 ⇔ b = 2 ⇒ c = 0; a = 1$ hoặc $c = 1; a = 0$

   – Nếu $ c – 2 = 0 ⇔ c = 2 ⇒ a = 0; b = 1$ hoặc $a = 1; b = 0$

   Bình luận