cho 2<=a,b,c<=4, a+b+c=9. chứng minh rằng a^2+b^2+c^2<=29

0 bình luận về “cho 2<=a,b,c<=4, a+b+c=9. chứng minh rằng a^2+b^2+c^2<=29”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Do $a;b;c \leq 4 \Rightarrow\begin{cases}4-a \geq 0\\4-b \geq 0 \\4-c \geq 0 \end{cases}$

   $⇒(4-a)(4-b)(4-c) \geq 0$

   Tương tự, do $a;b;c \geq 2$

   $⇒(a-2)(b-2)(c-2) \geq 0$

   $⇒(4-a)(4-b)(4-c)+(a-2)(b-2)(c-2) \geq 0$

   $⇔2ab+2bc+2ca-12(a+b+c)+56 \geq 0$

   $⇔2ab+2bc+2ca \geq 52$

   $⇔(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2) \geq 52$

   $⇔a^2+b^2+c^2 \leq (a+b+c)^2-52$

   $⇔a^2+b^2+c^2 \leq 29$

   Dấu “=” xảy ra khi $(a;b;c)=(2;3;4)$ và các hoán vị

   Bình luận