Cho 2 điểm A và B cố định .Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện :
$MA^2+MB^2=k$( VỚi $k$ là số thực dương cho trước)
Cho 2 điểm A và B cố định .Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện :
$MA^2+MB^2=k$( VỚi $k$ là số thực dương cho trước)
Đáp án:
Tập hợp điểm $M$ là $\left(I;\sqrt{\dfrac k2 – \dfrac{AB^2}{4}}\right)$ với $I$ là trung điểm $AB$
Giải thích các bước giải:
Gọi $I$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$
Do $A,\ B$ cố định nên $I$ cố định
Ta được:
$\quad MA^2 + MB^2 = k$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 = k$
$\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right)^2+ \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\right)^2 = k$
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}^2+ 2.\overrightarrow{MI}.\left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\right) + \overrightarrow{IA}^2 + \overrightarrow{IB}^2 = k$
$\Leftrightarrow 2MI^2 + IA^2 + IB^2 = k$
$\Leftrightarrow MI^2 = \dfrac{k – IA^2 – IB^2}{2}$
$\Leftrightarrow MI^2 = \dfrac{k}{2} – \dfrac{AB^2}{4}$
Vậy tập hợp điểm $M$ thoả mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm $I$ trung điểm $AB$, bán kính $R =\sqrt{\dfrac k2 – \dfrac{AB^2}{2}}$