Cho 2 phương trình. X^2+5x+c=0 (1). X^2-5x-c=0. (2). Biết hai phương trình có 1 nghiệm đối nhau , chứng minh rằng nghiệm còn lại của hai phương trình này cũng đối nhau
By Margaret
Cho 2 phương trình. X^2+5x+c=0 (1). X^2-5x-c=0. (2). Biết hai phương trình có 1 nghiệm đối nhau , chứng minh rằng nghiệm còn lại của hai phương trình này cũng đối nhau
$x^2 +5x + c = 0\qquad (1)$
$x^2 – 5x – c = 0\qquad (2)$
Gọi $x_1;\,x_2$ là hai nghiệm của $(1)$ và $x_3;\, x_4$ là hai nghiệm của $(2)$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = -5\\x_1x_2 = c\\x_3 + x_4 = 5\\x_3x_4 = -c\end{cases}$
Ta được:
$x_1 + x_2 +x_3 + x_4 = 0$
Giả sử $x_1$ và $x_3$ là hai nghiệm đối nhau
$\Rightarrow x_1 + x_3 =0$
Ta được: $x_2 + x_4 = 0$
$\Rightarrow x_2$ và $x_4$ là hai nghiệm đối nhau
Xét phương trình `(1):`
Theo hệ thức Viète: $\begin{cases}x_1+x_2=-5 \ \ (*)\\x_1x_2=x\end{cases}$
Xét phương trình `(2):`
Theo hệ thức Viète: $\begin{cases}x_{1′}+x_{2′}=5 \ \ (*’)\\x_{1′}x_{2′}=-c\end{cases}$
Giả sử `x_1` và `x_{1′}` là hai nghiệm đối nhau.
`->x_1+x_{1′}=0 \ \ (3)`
Cộng vế với vế của $(*)$ và $(*’)$, ta có:
`x_1+x_2+x_{1′}+x_{2′}=-5+5`
`->(x_1+x_{1′})+(x_2+x_{2′})=0 \ \ (4)`
Từ `(3)` và `(4)->x_2+x_{2′}=0`
`->x_2` và `x_{2′}` đối nhau `(\text{ĐPCM})`