Cho 2 số a,b thỏa mãn : a+b=1 và ab = -1.
Đặt $S_{2}$ =`a^2 + b^2 + a^4 + b^4` ; $S_{3}$ =`a^3 + b^3+ a^5+ b^5` ; $S_{4}$ = `a^4+b^4+a^6+b^6` ; $S_{5}$ =`a^5+b^5+a^7+b^7` ;….; $S_{n-1}$ = `a^(n-1)+ b^(n-1)+ a^(n+1) + b^(n+1)` ; $S_{n}$ = `a^n + b^n + a^(n+2) + b^(n+2)` ; $S_{n+1}$ = $a^{n+1}$ + $b^{n+1}$ +$a^{n+3}$ +$b^{n+3}$
CMR : a, $S_{4}$ =$S_{3}$ +$S_{2}$
b, $S_{5}$ = $S_{3}$ +$S_{4}$
c, $S_{n+1}$ = $S_{n}$ + $S_{n-1}$
Đáp án:
c, Ta có :
`a^k + b^k = (a^{k – 1} + b^{k- 1})(a + b) – (a^{k – 2} + b^{k – 2})ab`
`-> a^k + b^k = a^{k- 1} + b^{k – 1} + a^{k – 2} + b^{k – 2}`
Áp dụng nhận xét trên ta có :
`S_{n + 1} = a^{n + 1} + b^{n + 1} + a^{n+ 3} + b^{n + 3}`
`= a^n + b^n + a^{n – 1} + b^{n – 1} + a^{n + 2} + b^{n + 2} + a^{n + 1} + b^{n + 1}`
`= (a^n + b^n + a^{n + 2} + b^{n+ 2}) + (a^{n – 1} + b^{n- 1} + a^{n + 1} + b^{n+ 1})`
`= S_{n} + S_{n- 1}`
`-> S_{n+ 1} = S_{n} + S_{n – 1} (đ.p.c.m)`
a, thay `n = 3 -> S_4 = S_3 + S_2`
b, thay `n = 4 -> S_5 = S_3 + S_4`
Giải thích các bước giải: