cho 2 số chính phương liên tiếp chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng tích của chứng là 1 số chính phương lẻ ví dụ (a+b)+a.b ∪ ω ∪
cho 2 số chính phương liên tiếp chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng tích của chứng là 1 số chính phương lẻ ví dụ (a+b)+a.b ∪ ω ∪
By Julia
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
gọi 2 số chính phương liên tiếp là k^2 và (k + 1)^2
theo đề bài ta có :
k^2 + (k+1)^2 + k^2(k+1)^2
= k^2 + k^2 + 2k + 1 + k^2(k^2 + 2k + 1)
= 2k^2 + 2k + 1 + k^4 + 2k^3 + k^2
= k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1
= k^4 + k^2 + 1 + 2k^3 + 2k^2 + 2k
= (k^2 + k + 1)^2
= [k(k+1)+1]^2
k(k+1) chia hết cho 2 (2 số tự nhiên liên tiếp) => k(k+1) +1 lẻ
=> [k(k+1)+1]^2 là số chính phương lẻ
Gọi hai số liên tiếp là: `a,a+1(a∈ZZ)`
`⇒` bình phương của hai số đó là `a^2,(a+1)^2.`
Theo bài ra ta có: `a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2`
`=a^2+a^2+2a+1+a^2(a^2+2a+1)`
`=a^2+a^2+2a+1+a^4+2a^3+a^2`
`=a^4+2a^3+3a^2+2a+1`
`=a^4+a^2+1+2a^3+2a+2a^2`
`=(a^2)^2+a^2+1^2+2.a^2 . a+2.a.1+2.a^2. 1`
`=[a(a+1)+1]^2.`
Có `a∈ZZ,` mà `a,a+1` là hai số liên tiếp `⇒` có ít nhất `1` số `⋮2.`
`⇒a(a+1)+1` là một số lẻ.`
`⇒[a(a+1)+1]^2` là bình phương của một số lẻ, hay là một số chính phương lẻ.
Vậy tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.