Cho 2 số dương a,b có a+b=1. Tìm GTNN của A=1/1+3ab+a^2+1/1+3ab+b^2 21/10/2021 Bởi Claire Cho 2 số dương a,b có a+b=1. Tìm GTNN của A=1/1+3ab+a^2+1/1+3ab+b^2
Đáp án: $GTNN$ của $A = 1$ khi $ a = b = 1$ Giải thích các bước giải: Với mọi $x; y > 0$ ta có : $ (x – y)² ≥ 0 ⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0 ⇔ x² + y² ≥ 2xy ⇔ x² + 2xy + y² ≥ 4xy ⇔ (x + y)² ≥ 4xy$ $⇔ \frac{x + y}{xy} ≥ \frac{4}{x + y} ⇔ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ≥ \frac{4}{x + y} (1)$ Áp dụng $(1)$ với $x = 1 + 3ab + a²; y = 1 + 3ab + b²; a + b = 1$ ta có: $A = \frac{1}{1 + 3ab + a²} + \frac{1}{1 + 3ab + b²} ≥ \frac{4}{(1 + 3ab + a²) + (1 + 3ab + b²)} = \frac{4}{2 + 6ab + a² + b²} = \frac{4}{2 + 4ab + (a + b)²} ≥ \frac{4}{2 + 2(a + b)²} = \frac{4}{2 + 2} = 1$ Vậy $GTNN$ của $A = 1$ khi $ a = b = 1$ Bình luận
Đáp án: $GTNN$ của $A = 1$ khi $ a = b = 1$
Giải thích các bước giải:
Với mọi $x; y > 0$ ta có :
$ (x – y)² ≥ 0 ⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0 ⇔ x² + y² ≥ 2xy ⇔ x² + 2xy + y² ≥ 4xy ⇔ (x + y)² ≥ 4xy$
$⇔ \frac{x + y}{xy} ≥ \frac{4}{x + y} ⇔ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ≥ \frac{4}{x + y} (1)$
Áp dụng $(1)$ với $x = 1 + 3ab + a²; y = 1 + 3ab + b²; a + b = 1$ ta có:
$A = \frac{1}{1 + 3ab + a²} + \frac{1}{1 + 3ab + b²} ≥ \frac{4}{(1 + 3ab + a²) + (1 + 3ab + b²)} = \frac{4}{2 + 6ab + a² + b²} = \frac{4}{2 + 4ab + (a + b)²} ≥ \frac{4}{2 + 2(a + b)²} = \frac{4}{2 + 2} = 1$
Vậy $GTNN$ của $A = 1$ khi $ a = b = 1$