Cho 2 số dương x,y thỏa mãn x+y ≤ 1. Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x ² + y ²}$ + $\frac{504}{xy}$ 22/08/2021 Bởi aihong Cho 2 số dương x,y thỏa mãn x+y ≤ 1. Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x ² + y ²}$ + $\frac{504}{xy}$
Đáp án: \[{P_{\min }} = 2018 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\] Giải thích các bước giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {x – y} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x,y\\ \Leftrightarrow {x^2} – 2xy + {y^2} \ge 0,\,\,\forall x,y\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\forall x,y\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}},\,\,\forall x,y > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}},\,\,\forall x,y > 0\\{x^2} + {y^2} \ge 2xy\\ \Leftrightarrow 4xy \le {x^2} + 2xy + {y^2}\\ \Leftrightarrow 4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le {1^2} = 1\\ \Rightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\end{array}\) Sử dụng các bất đẳng thức trên ta có: \(\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{504}}{{xy}}\\ = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{{1007}}{2}}}{{xy}}\\ = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}}} \right) + \dfrac{{1007}}{{2xy}}\\ \ge \dfrac{4}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} + \dfrac{{1007}}{{2xy}}\\ = \dfrac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \dfrac{{1007}}{{2xy}} \ge \dfrac{4}{{{1^2}}} + \dfrac{{1007}}{{2.\dfrac{1}{4}}} = 2018\end{array}\) Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\) Vậy \({P_{\min }} = 2018 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\) Bình luận
Đáp án:
\[{P_{\min }} = 2018 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x – y} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x,y\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2xy + {y^2} \ge 0,\,\,\forall x,y\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\forall x,y\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}},\,\,\forall x,y > 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}},\,\,\forall x,y > 0\\
{x^2} + {y^2} \ge 2xy\\
\Leftrightarrow 4xy \le {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Leftrightarrow 4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le {1^2} = 1\\
\Rightarrow xy \le \dfrac{1}{4}
\end{array}\)
Sử dụng các bất đẳng thức trên ta có:
\(\begin{array}{l}
P = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{504}}{{xy}}\\
= \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{{1007}}{2}}}{{xy}}\\
= \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}}} \right) + \dfrac{{1007}}{{2xy}}\\
\ge \dfrac{4}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} + \dfrac{{1007}}{{2xy}}\\
= \dfrac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \dfrac{{1007}}{{2xy}} \ge \dfrac{4}{{{1^2}}} + \dfrac{{1007}}{{2.\dfrac{1}{4}}} = 2018
\end{array}\)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \({P_{\min }} = 2018 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\)