Cho 2 số thực a; b thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0. Tìm GTNN của A = $\frac{8a^2 + b}{4a}$ + $b^{2}$
Cho 2 số thực a; b thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0. Tìm GTNN của A = $\frac{8a^2 + b}{4a}$ + $b^{2}$
Đáp án:\(Min_A=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Giải thích các bước giải:
`A=(8a^2+b)/(4a)+b^2`
`=(8a^2)/(4a)+b/(4a)+b^2`
`=2a+b/(4a)+b^2`
`a+b>=1<=>b>=1-a`
`=>b/(4a)>=(1-a)/(4a)=1/(4a)-1/4`
`=>A>=2a+1/(4a)-1/4+(1-a)^2`
`<=>A>=2a+a^2-2a+1+1/(4a)-1/4`
`<=>A>=a^2+1/(4a)+3/4`
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho ba số dương ta có:
`a^2+1/(4a)=a^2+1/(8a)+1/(8a)>=3\root{3}{a^2*1/(8a)*1/(8a)}=3/4`
`<=>A>=3/4+3/4=3/2`
Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases}a^2=\dfrac{1}{8a}(cauchy)\\a+b=1\\\end{cases}\\\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Có: `a+b>=1 -> b>=1-a`
`A=(8a^2+b)/(4a)+b^2`
`A=2a+b/(4a)+b^2`
`A>=2a+(1-a)/(4a)+b^2`
`A>=2a+1/(4a)-1/4+b^2`
`A>= a+b+ (1/(4a)+a)+(b^2-b+1/4)`
`A>=1+2\sqrt{ 1/(4a).a }+ (b-1/2)^2`
`A>=1+2. 1/2`
`A>=3/2`
Dấu = xảy ra khi `{(1/(4a)=a),(b=1/2),(a+b=1):}`
`<=> a=b=1/2`
Vậy `A_(min)=3/2<=>x=y=1/2`