Cho 2 số x,y dương thỏa mãn x+y =1 Chứng minh : `(1+1/x)(1+1/y) ge 9` 03/10/2021 Bởi Faith Cho 2 số x,y dương thỏa mãn x+y =1 Chứng minh : `(1+1/x)(1+1/y) ge 9`
Giải thích các bước giải: Xét: `M = (1+ 1/x )(1+1/y) -9` `= (x+1)/x * (y+1)/y -9` `= ((x+1)*(y+1)-9xy)/(xy)` `= 1/(xy) * (xy + x+y – 9xy)` (Với `x+y =1`) `= 1/(xy) * (2-8xy)` `= 2/(xy) * (1- 4xy)` `= 2xy [(x+y)^2 – 4xy] = 2/(xy)[(x+y)^2] ge 0` `=> (1+ 1/ x)*(1+ 1/y) ge 9` Bình luận
`(1+1/x)(1+1/y) \ge 9``<=> (x+1/x)(y+1/y) \ge 9``<=> (x+1).(y+1) \ge 9xy` (do `x,y` là các số dương)`<=> xy + x + y + 1 \ge 9xy``<=> x + y + 1 \ge 8xy``<=> 2 \ge 8xy` (do ` x+y=1`)`<=> 1 \ge 4xy``<=> (x+y)^2 \ge 4xy``<=> x^2 +y^2 +2xy \ge 4xy``<=> x^2+y^2-2xy \ge 0``<=> (x-y)^2 \ge 0 (*)`Ta thấy : bất đẳng thức `(*)` luôn đúng với mọi `a,b` dương`->` bất đẳng thức `(1+1/x)(1+1/y) \ge 9` luôn đúng với mọi a,b dương. Bình luận
Giải thích các bước giải:
Xét: `M = (1+ 1/x )(1+1/y) -9`
`= (x+1)/x * (y+1)/y -9`
`= ((x+1)*(y+1)-9xy)/(xy)`
`= 1/(xy) * (xy + x+y – 9xy)` (Với `x+y =1`)
`= 1/(xy) * (2-8xy)`
`= 2/(xy) * (1- 4xy)`
`= 2xy [(x+y)^2 – 4xy] = 2/(xy)[(x+y)^2] ge 0`
`=> (1+ 1/ x)*(1+ 1/y) ge 9`
`(1+1/x)(1+1/y) \ge 9`
`<=> (x+1/x)(y+1/y) \ge 9`
`<=> (x+1).(y+1) \ge 9xy` (do `x,y` là các số dương)
`<=> xy + x + y + 1 \ge 9xy`
`<=> x + y + 1 \ge 8xy`
`<=> 2 \ge 8xy` (do ` x+y=1`)
`<=> 1 \ge 4xy`
`<=> (x+y)^2 \ge 4xy`
`<=> x^2 +y^2 +2xy \ge 4xy`
`<=> x^2+y^2-2xy \ge 0`
`<=> (x-y)^2 \ge 0 (*)`
Ta thấy : bất đẳng thức `(*)` luôn đúng với mọi `a,b` dương
`->` bất đẳng thức `(1+1/x)(1+1/y) \ge 9` luôn đúng với mọi a,b dương.