Cho $x^2+y^2-xy=4$. Tìm Min và Max của $A=x^2+y^2$

0 bình luận về “Cho $x^2+y^2-xy=4$. Tìm Min và Max của $A=x^2+y^2$”

1. Đáp án:

   $minA = \dfrac{8}{3} \Leftrightarrow (x;y) = \left\{\left(\dfrac{2\sqrt3}{3};-\dfrac{2\sqrt3}{3}\right),\left(-\dfrac{2\sqrt3}{3};\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)\right\}$

   $maxA = 8 \Leftrightarrow x = y = \pm 2$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $+) \, (x – y)^2 \geq 0$

   $\Leftrightarrow x^2 + y^2 \geq 2xy$

   $\Leftrightarrow \dfrac{x^2 + y^2}{2} \geq xy$

   $+) \, (x + y)^2 \geq 0$

   $\Leftrightarrow x^2 + y^2 \geq – 2xy$

   $\Leftrightarrow \dfrac{x^2 + y^2}{2} \geq -xy$

   $\Leftrightarrow – \dfrac{x^2 + y^2}{2} \leq xy$

   Ta được:

   $+) \, A = x^2 + y^2 = 4 + xy$

   $\Leftrightarrow x^2 + y^2 \leq 4 + \dfrac{x^2 + y^2}{2}$

   $\Leftrightarrow 2(x^2 + y^2) \leq 8 + x^2 + y^2$

   $\Leftrightarrow x^2 + y^2 \leq 8$

   Hay $maxA = 8$

   Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = \pm 2$

   $+) \, A = x^2 + y^2 = 4 + xy$

   $\Leftrightarrow x^2 + y^2 \geq 4 – \dfrac{x^2 + y^2}{2}$

   $\Leftrightarrow 2(x^2 + y^2) \geq 8 – (x^2 + y^2)$

   $\Leftrightarrow 3(x^2 + y^2) \geq 8$

   $\Leftrightarrow x^2 + y^2 \geq \dfrac{8}{3}$

   Hay $minA = \dfrac{8}{3}$

   Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = – y \Leftrightarrow (x;y) = \left\{\left(\dfrac{2\sqrt3}{3};-\dfrac{2\sqrt3}{3}\right),\left(-\dfrac{2\sqrt3}{3};\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)\right\}$

   Bình luận