Cho` x^2 + y^2 + z^2 = 1 . P = xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx)` . Tìm min P 05/12/2021 Bởi Aubrey Cho` x^2 + y^2 + z^2 = 1 . P = xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx)` . Tìm min P
Đáp án: Ta có `x^2 + y^2 + z^2 = 1` `-> x^2,y^2,z^2 ≤ 1 -> |x|^2,|y|^2,|z|^2 ≤ 1 -> |x|,|y|,|z| ≤ 1` `-> -1 ≤ x,y,z ≤ 1` `-> x + 1 , y + 1 , z + 1 ≥ 0 -> (x + 1)(y + 1)(z+ 1) ≥ 0 -> (xy + y + x + 1)(z + 1) ≥ 0` `-> xyz + yz + zx + z + xy + y + x + 1 ≥ 0` `-> (1 + x + y + z + xy + yz + zx) + xyz ≥ 0 (1)` Mặt khác `(1 + x + y + z)^2/2 ≥ 0` `-> (1 + x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx)/2 ≥ 0` `-> (2 + 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx)/2 ≥ 0` `-> 1 + x + y + z + xy + yz + zx ≥ 0 (2)` Cộng `(1)` cho `(2)` `P = xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx) ≥ 0` Dấu “=” xảy ra `<=> (x,y,z)` là hoán vị của `(-1,0,0)` Vậy Min P là `0 <=> (x,y,z)` là hoán vị của `(-1,0,0)` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Ta có
`x^2 + y^2 + z^2 = 1`
`-> x^2,y^2,z^2 ≤ 1 -> |x|^2,|y|^2,|z|^2 ≤ 1 -> |x|,|y|,|z| ≤ 1`
`-> -1 ≤ x,y,z ≤ 1`
`-> x + 1 , y + 1 , z + 1 ≥ 0 -> (x + 1)(y + 1)(z+ 1) ≥ 0 -> (xy + y + x + 1)(z + 1) ≥ 0`
`-> xyz + yz + zx + z + xy + y + x + 1 ≥ 0`
`-> (1 + x + y + z + xy + yz + zx) + xyz ≥ 0 (1)`
Mặt khác
`(1 + x + y + z)^2/2 ≥ 0`
`-> (1 + x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx)/2 ≥ 0`
`-> (2 + 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx)/2 ≥ 0`
`-> 1 + x + y + z + xy + yz + zx ≥ 0 (2)`
Cộng `(1)` cho `(2)`
`P = xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx) ≥ 0`
Dấu “=” xảy ra `<=> (x,y,z)` là hoán vị của `(-1,0,0)`
Vậy Min P là `0 <=> (x,y,z)` là hoán vị của `(-1,0,0)`
Giải thích các bước giải: