Cho `2018` số tự nhiên là `a_1; a_2; a_3; … ; a_2018` đều là các số lớn hơn `1` thỏa mãn điều kiện `1/(a_1^2) + 1/(a_2^2) + 1/(a_3^2) + … + 1/(a_2018^2) = 1`
Chứng minh rằng trong `2018` số này sẽ có ít nhất `2` số bằng nhau
Cho `2018` số tự nhiên là `a_1; a_2; a_3; … ; a_2018` đều là các số lớn hơn `1` thỏa mãn điều kiện `1/(a_1^2) + 1/(a_2^2) + 1/(a_3^2) + … + 1/(a_2018^2) = 1`
Chứng minh rằng trong `2018` số này sẽ có ít nhất `2` số bằng nhau
Giả sử $a_1>a_2>a_3>…>a_{2018}$
→ $a_{2018}\geq2$ ; $a_{2017}\geq3$ ;…; $a_1\geq2019$
→$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+…+\dfrac{1}{a_{2018}}$ $<1$ (vô lý)
→$2018$ số này sẽ có ít nhất $2$ số bằng nhau (đpcm)
Lời giải
Giả sử `a_1,a_2,…a_2018` là `2018` số tự nhiên đôi một phân biệt. Không mất tính tổng quát, ta giả sử `1<a_1<a_2<…<a_2017<a_2018`
`=> a_1≥2,a_2≥3,…,a_2018≥2019`
`=>a_1^2≥2^2,a_2^2≥3^2,…,a_2018^2≥2019^2`
`=>1/(a_1^2) + 1/(a_2^2) + 1/(a_3^2) + … + 1/(a_2018^2) ≤1/{2^2}+1/{3^2}+…+1/{2019^2}` `(1)`
Lại có: `1/{2^2}=1/{2.2}<1/{1.2}`
`1/{3^2}=1/{3.3}<1/{2.3}`
`…`
`1/{2019^2}=1/{2019.2019}<1/{2017.2018}`
`=>1/{2^2}+1/{3^2}+…+1/{2019^2}<1/{1.2}+1/{2.3}+…+1/{2017.2018}=1-1/2+1/2-1/3+…+1/2017-1/2018=1-1/2018=2017/2018<2018/2018=1.` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)=>` `1/(a_1^2) + 1/(a_2^2) + 1/(a_3^2) + … + 1/(a_2018^2) <1` (vô lý)
Do đó, trong `2018` số tự nhiên `a_1,a_2,a_3,…,a_2018` có ít nhất `2` số bằng nhau.