Cho `2021` số nguyên dương `a_{1} ; a_{2} ; a_{3} ; …. ; a_{2021}` thỏa mãn `1/a_{1} + 1/a_{2} + … + 1/a_{2021} = 1011`. `CMR` trong `2021` số trên tồn tại ít nhất `2` số bằng nhau
Cho `2021` số nguyên dương `a_{1} ; a_{2} ; a_{3} ; …. ; a_{2021}` thỏa mãn `1/a_{1} + 1/a_{2} + … + 1/a_{2021} = 1011`. `CMR` trong `2021` số trên tồn tại ít nhất `2` số bằng nhau
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bạn xem hình
Giả sử $a_{1} \geq a_{2} \geq … \geq a_{2021}$
$\rightarrow \frac{1}{a_{1}} \leq \frac{1}{a_{2}} \leq … \leq \frac{1}{a_{2021}}$
$\rightarrow 1011=\frac{1}{a_{1}} +\frac{1}{a_{2}} +… + \frac{1}{a_{2021}} \leq \frac{2021}{a_{2021}}$
$\rightarrow 1011 a_{2021} \leq 2021 $ $\rightarrow a_{2021}\leq 2021/1011 <2$
$\rightarrow a_{2021}=1$
Tương tự : $\rightarrow 1010=\frac{1}{a_{1}} +\frac{1}{a_{2}} +… + \frac{1}{a_{2020}} \leq \frac{2020}{a_{2020}}$ (1)
$\rightarrow a_{2020} \leq 2$
TH1: $ a_{2020} = 1 =a_{2021} $ (TM đpcm)
TH2: $ a_{2020} = 2$.
Từ (1): $1010=\frac{1}{a_{1}} +\frac{1}{a_{2}} +… + \frac{1}{a_{2020}} \leq \frac{2020}{a_{2020}}=1010$
Dấu “=”xảy ra khi: $a_{1} = a_{2} = … = a_{2020}=2$ (TM đpcm)
Vậy trong 2021 số trên tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau