cho 2n + 1 vaf 3n + 1 là số chính phương chứng minh n chia hết 40 GIUPPPPPPPPPPPPPPPP

0 bình luận về “cho 2n + 1 vaf 3n + 1 là số chính phương chứng minh n chia hết 40 GIUPPPPPPPPPPPPPPPP”

1. 2n + 1 là số chính phương lẻ ⇒ 2n + 1 ≡ 1 (mod 8)

   ⇒ 2n ≡ 0

   ⇒ 2n ⋮ 8 

   ⇒ n ⋮ 4 ⇒ n chẵn

   3n + 1 là số chính phương lẻ ⇒ 3n + 1 ≡ 1 (mod 8)

   ⇒ 3n ⋮ 8 mà (3 , 8) = 1

   ⇒ n ⋮ 8 (1)

   Đặt 3n + 1 = a^2 ; 2n + 1 = b^2

   ⇒ a^2 + b^2 = 5n + 2 ≡ 2 (mod 5)

   Mà a^2 ≡ 0 , 1 , 4 (mod 5)

         b^2 ≡ 0 , 1, 4 (mod 5)

   ⇒ a^2 ≡ b^2 ≡ 1 (mod 5)

   ⇒ 2n + 1 ≡ 1 (mod 5)

   ⇒ 2n ⋮ 5 ⇔ n ⋮ 5 (2)

   Từ (1) và (2) mà (5 ; 8) = 1

   Vậy n ⋮ 40

    

   Bình luận

2. $2n+1$ $=$ $a^2$ $(1)$

   $3n+1$ $=$ $b^2$ $(2)$

   Từ $(1)$ ⇒ $a$ lẻ

   Đặt $a=2k+1$ 

   ⇒ $2n+1$ $=$ $4k^2$ $+$ $4k+1$

   $n$ $=$ $2k^2$ $+$ $2k$

   ⇒ $n$ chẵn

   ⇒ $3n+1$ lẻ

   Từ (2) 

   ⇒ $b$ lẻ

   Đặt $b=2p+1$

   $(1)+(2)$ ta có :

   $5n+2$ $=$ $4k^2$ $+$ $4k+1$ $+$ $4p^2$ $+$ $4p+1$

   ⇒ $5n=4k(k+1)+4p(p+1)$

   Suy ra $5n$ $\vdots$ $8$

   ⇒ $n$ $\vdots$ $8$

   Ta cần chứng minh $n$ $\vdots$ $5$

   Số chính phương có các tận cùng là : $0,1,4,5,6,9$

   Lần lượt xét các trường hợp $n=5q+1, 5q+2, 5q+3,5q+4$

   Tất cả đều KTM $2n+1, 3n+1$ là số chính phương. Vậy $n$ $\vdots$ $5$

   Mà $5$ và $8$ nguyên tố cùng nhau, nên $n$ $\vdots$ $40$

   ⇒ $ĐPCM$

   XIn hay nhất nha !

    

   Bình luận