cho x+2y<=2, tìm min của P=1/x^2+4y^2 +1/2xy 18/07/2021 Bởi Charlie cho x+2y<=2, tìm min của P=1/x^2+4y^2 +1/2xy
`2≥x+2y≥2\sqrt(2xy)` `⇔1≥\sqrt(2xy)` `⇔1≥2xy` `⇔2≥4xy` `P=1/(x^2+4y^2) +1/(2xy)` `⇔P=1/(x^2+4y^2) +1/(4xy)+1/(4xy)≥((1+1+1)^2)/(x^2+4y^2+4xy+4xy)` `⇔P≥(9)/((x+2y)^2+4xy)` `⇔P≥(9)/(2^2+2)=9/6 =3/2` `”=”`xẩy ra khi :`x=2y` và `x+2y=2` `⇒x=1;y=1/2` Bình luận
Đáp án: `P_{min}=\frac{3}{2}⇔(x;y)=(1;\frac{1}{2})` Giải thích các bước giải: Trước hết bạn chứng minh BĐT sau nha, dùng Cauchy là được: Với `a;b;c>0:\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥\frac{9}{a+b+c}(*)` Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c$ Trở lại bài toán: Ta có: $2≥x+2y≥2\sqrt{2xy}⇒2xy≤1⇒4xy≤2$ Áp dụng BĐT $(*)$ ta được: `P=\frac{1}{x^2+4y^2}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}` `≥\frac{9}{x^2+4y^2+4xy+4xy}=\frac{9}{(x+2y)^2+4xy}` `≥\frac{9}{2^2+2}=\frac{3}{2}` Dấu bằng xảy ra $⇔\begin{cases}x^2+4y^2=4xy\\x+2y=2\\x=2y\end{cases}⇔\begin{cases}x=1\\y=0,5\end{cases}$ Bình luận
`2≥x+2y≥2\sqrt(2xy)`
`⇔1≥\sqrt(2xy)`
`⇔1≥2xy`
`⇔2≥4xy`
`P=1/(x^2+4y^2) +1/(2xy)`
`⇔P=1/(x^2+4y^2) +1/(4xy)+1/(4xy)≥((1+1+1)^2)/(x^2+4y^2+4xy+4xy)`
`⇔P≥(9)/((x+2y)^2+4xy)`
`⇔P≥(9)/(2^2+2)=9/6 =3/2`
`”=”`xẩy ra khi :
`x=2y` và `x+2y=2`
`⇒x=1;y=1/2`
Đáp án: `P_{min}=\frac{3}{2}⇔(x;y)=(1;\frac{1}{2})`
Giải thích các bước giải:
Trước hết bạn chứng minh BĐT sau nha, dùng Cauchy là được:
Với `a;b;c>0:\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥\frac{9}{a+b+c}(*)`
Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c$
Trở lại bài toán:
Ta có: $2≥x+2y≥2\sqrt{2xy}⇒2xy≤1⇒4xy≤2$
Áp dụng BĐT $(*)$ ta được:
`P=\frac{1}{x^2+4y^2}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}`
`≥\frac{9}{x^2+4y^2+4xy+4xy}=\frac{9}{(x+2y)^2+4xy}`
`≥\frac{9}{2^2+2}=\frac{3}{2}`
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}x^2+4y^2=4xy\\x+2y=2\\x=2y\end{cases}⇔\begin{cases}x=1\\y=0,5\end{cases}$