cho x+2y<=2, tìm min của P=1/x^2+4y^2 +1/2xy

cho x+2y<=2, tìm min của P=1/x^2+4y^2 +1/2xy

0 bình luận về “cho x+2y<=2, tìm min của P=1/x^2+4y^2 +1/2xy”

  1. `2≥x+2y≥2\sqrt(2xy)`

    `⇔1≥\sqrt(2xy)`

    `⇔1≥2xy`

    `⇔2≥4xy`

    `P=1/(x^2+4y^2) +1/(2xy)`

    `⇔P=1/(x^2+4y^2) +1/(4xy)+1/(4xy)≥((1+1+1)^2)/(x^2+4y^2+4xy+4xy)`

    `⇔P≥(9)/((x+2y)^2+4xy)`

    `⇔P≥(9)/(2^2+2)=9/6 =3/2`

    `”=”`xẩy ra khi :
    `x=2y` và `x+2y=2`

    `⇒x=1;y=1/2`

    Bình luận
  2. Đáp án: `P_{min}=\frac{3}{2}⇔(x;y)=(1;\frac{1}{2})`

     

    Giải thích các bước giải:

    Trước hết bạn chứng minh BĐT sau nha, dùng Cauchy là được:

    Với `a;b;c>0:\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥\frac{9}{a+b+c}(*)`

    Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c$

    Trở lại bài toán:

    Ta có: $2≥x+2y≥2\sqrt{2xy}⇒2xy≤1⇒4xy≤2$

    Áp dụng BĐT $(*)$ ta được:

    `P=\frac{1}{x^2+4y^2}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}`

    `≥\frac{9}{x^2+4y^2+4xy+4xy}=\frac{9}{(x+2y)^2+4xy}`

    `≥\frac{9}{2^2+2}=\frac{3}{2}`

    Dấu bằng xảy ra

    $⇔\begin{cases}x^2+4y^2=4xy\\x+2y=2\\x=2y\end{cases}⇔\begin{cases}x=1\\y=0,5\end{cases}$

    Bình luận

Viết một bình luận