cho 3x+4y=7.cmr: a) cmr: 3x^2 + 4y^2 ≥ 7 b) tìm gtnn của A = x^2 + y^2 ( 2 cách )

Đáp án: b) $A_{min}=1,96$ khi $(x;y)=(0,84;1,12)$

 

Giải thích các bước giải:

Từ `3x+4y=7⇔3x=7-4y⇔x=\frac{7-4y}{3}`

a) Ta có: `3x^2+4y^2=3(\frac{7-4y}{3})^2+4y^2`

`=\frac{(7-4y)^2}{3}+\frac{12y^2}{3}`

`=\frac{16y^2-56y+49+12y^2}{3}`

`=\frac{28y^2-56y+49}{3}`

`=\frac{(28y^2-56y+28)+21}{3}`

`=\frac{28(y-1)^2}{3}+7`

Do $(y-1)^2≥0∀y$

`⇒\frac{28(y-1)^2}{3}≥0∀y`

`⇒\frac{28(y-1)^2}{3}+7≥7∀y`

$⇒3x^2+4y^2≥7 ∀x;y$ (đpcm)

b) Cách 1:

Ta có: `x^2+y^2=(\frac{7-4y}{3})^2+y^2`

`=\frac{(7-4y)^2}{9}+\frac{9y^2}{9}`

`=\frac{16y^2-56y+49+9y^2}{9}`

`=\frac{25y^2-56y+49}{9}`

`=\frac{(25y^2-56y+31,36)+17,64}{9}`

`=\frac{(5y-5,6)^2}{9}+1,96`

Do $(5y-5,6)^2≥0∀y$

`⇒\frac{(5y-5,6)^2}{9}≥0∀y`

`⇒\frac{(5y-5,6)^2}{9}+1,96≥1,96∀y`

$⇒A=x^2+y^2≥1,96 ∀x;y$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra $⇔5y-5,6=0⇔y=1,12$

`⇒x=\frac{7-4.1,12}{3}=0,84`

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho 2 bộ số $(3;4);(x;y)$ ta được:

$(3^2+4^2)(x^2+y^2)≥(3x+4y)^2$

$⇒25A≥7^2=49$

$⇒A≥1,96$

Dấu bằng xảy ra `⇔\frac{3}{x}=\frac{4}{y}⇔x=\frac{3y}{4}`

Ta có: `x=\frac{7-4y}{3}⇔\frac{3y}{4}=\frac{7-4y}{3}`

$⇔3.3y=4(7-4y)⇔9y=28-16y$

$⇔9y+16y=28⇔25y=28⇔y=1,12$

`⇒x=\frac{3.1,12}{4}=0,84`

Vậy $A_{min}=1,96$ khi $(x;y)=(0,84;1,12)$

Trả lời