cho 3 số a,b,c>0 thỏa mãn ab+ ac+bc=3 chứng minh 1/(a^2+2) + 1/(b^2+2) + 1/(c^2+2) <=1 28/08/2021 Bởi Cora cho 3 số a,b,c>0 thỏa mãn ab+ ac+bc=3 chứng minh 1/(a^2+2) + 1/(b^2+2) + 1/(c^2+2) <=1
Giải thích các bước giải: Đặt $P = \dfrac{1}{a^2+2} + \dfrac{1}{b^2+2} + \dfrac{1}{c^2+2} $ Cần chứng minh $P ≤ 1$ $⇔2P ≤ 2$ $⇔ \dfrac{2}{a^2+2} + \dfrac{2}{b^2+2} + \dfrac{2}{c^2+2} ≤ 2$ $⇔ \dfrac{(a^2+2)-a^2}{a^2+2} + \dfrac{2}{b^2+2} + \dfrac{2}{c^2+2} ≤ 2$ $⇔ 3 – \bigg(\dfrac{a^2}{a^2+2} + \dfrac{b^2}{b^2+2} + \dfrac{c^2}{c^2+2} \bigg) ≤ 2$ $⇔ \dfrac{a^2}{a^2+2} + \dfrac{b^2}{b^2+2} + \dfrac{c^2}{c^2+2} ≥ 1$ $(8)$ Ta thấy BĐT $(*)$ đúng vì theo Svacxo ta có : $ \dfrac{a^2}{a^2+2} + \dfrac{b^2}{b^2+2} + \dfrac{c^2}{c^2+2} ≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ 6}$ $ = \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)} = \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2} = 1$ Vậy $BĐT$ được hoàn tất. Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=1$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
cho mình câu trả lời hay nhất nhé
Giải thích các bước giải:
Đặt $P = \dfrac{1}{a^2+2} + \dfrac{1}{b^2+2} + \dfrac{1}{c^2+2} $
Cần chứng minh $P ≤ 1$
$⇔2P ≤ 2$
$⇔ \dfrac{2}{a^2+2} + \dfrac{2}{b^2+2} + \dfrac{2}{c^2+2} ≤ 2$
$⇔ \dfrac{(a^2+2)-a^2}{a^2+2} + \dfrac{2}{b^2+2} + \dfrac{2}{c^2+2} ≤ 2$
$⇔ 3 – \bigg(\dfrac{a^2}{a^2+2} + \dfrac{b^2}{b^2+2} + \dfrac{c^2}{c^2+2} \bigg) ≤ 2$
$⇔ \dfrac{a^2}{a^2+2} + \dfrac{b^2}{b^2+2} + \dfrac{c^2}{c^2+2} ≥ 1$ $(8)$
Ta thấy BĐT $(*)$ đúng vì theo Svacxo ta có :
$ \dfrac{a^2}{a^2+2} + \dfrac{b^2}{b^2+2} + \dfrac{c^2}{c^2+2} ≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ 6}$
$ = \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)} = \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2} = 1$
Vậy $BĐT$ được hoàn tất. Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=1$